Question

2．如图，墙面OC与地面OD垂直，一架梯子AB长5米，开始时梯子紧贴墙面，梯子顶端A沿墙面匀速每分钟向下滑动1米，x分钟后点A滑动到点A′，梯子底端B沿地面向左滑动到点B′，OB′=y米，滑动时梯子长度保持不变．
（1）当x=1时，y=3米；
（2）求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）研究（2）中函数图象及其性质．
①填写下表，并在所给的坐标系中画出函数图象；
②如果点P（x，y）在（2）中的函数图象上，求证：点P到点Q（5，0）的距离是定值；
（4）梯子底端B沿地面向左滑动的速度是C
A．匀速   B．加速   C．减速  D．先减速后加速．

Answer 1

分析 （1）在Rt△A′OB′中，根据勾股定理求出OB′即可．
（2）在Rt△A′OB′中，根据勾股定理即可解决问题，再根据题意写出自变量的取值范围．
（3）①先列表，再画出图象即可．②利用两点间距离公式即可解决问题．
（4）如图2中，在半径OQ上取AB=BC，过A、B、C作x轴的垂线交圆弧于D、E、F，作DM⊥BE，EN⊥CF，延长DE交CF于G，只要证明EM＞FN即可解决问题．

解答 解：（1）x=1时，A′B=5-1=4，A′B′=5，
∵∠O=90°，
∴y=OB′=$\sqrt{A′B{′}^{2}-A′{O}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3．
故答案为3．

（2）y=$\sqrt{{5}^{2}-（5-x）^{2}}$=$\sqrt{10x-{x}^{2}}$，（0≤x≤5）．

（3）①填表：

②图象如图所示：

∵y=$\sqrt{{5}^{2}-（5-x）^{2}}$，
∴y²+（5-x）²=5²，
即PQ²=PR²+RQ²=25，
∴PQ=5，
∴P到点Q（5，0）的距离是定值

（4）与（3）可知，函数图象是以Q为圆心的圆弧，
如图2中，在半径OQ上取AB=BC，过A、B、C作x轴的垂线交圆弧于D、E、F，作DM⊥BE，EN⊥CF，延长DE交CF于G．那么GN=EM，

∵GN＞FN，
∴EM＞FN，
即点A移动的距离大于点B移动的距离，
∴是减速，
故选C．

点评 本题考查圆的综合题、勾股定理，列表法画函数图象等知识，解题的关键是学会构建函数解决问题，学会画好图象，利用图象思考问题，属于中考压轴题．