Question

2．已知，点P是Rt△ABC斜边AB上一动点（不与A、B重合），分别过A、B向直线CP作垂线，垂足分别为E、F，Q为斜边AB的中点．
（1）如图1，当点P与点Q重合时，求证：QE=QF；
（2）如图2，若AC=BC，求证：BF=AE+EF；
（3）在（2）的条件下，若AE=6，QE=$\sqrt{2}$，求线段AC的长．

Answer 1

分析 （1）根据AAS推出△AEQ≌△BFQ，推出AE=BF即可；
（2）先判断出∠BCF=∠EAC进而得出△BCF≌△CAE（AAS）即可得出结论；
（3）先判断出△AEQ≌△BGQ进而得出△GFE是等腰直角三角形最后用勾股定理即可得出结论．

解答 解：（1）
当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是AE∥BF，QE与QF的数量关系是AE=BF，
理由是：∵Q为AB的中点，
∴AQ=BQ，
∵AE⊥CQ，BF⊥CQ，
∴AE∥BF，∠AEQ=∠BFQ=90°，
在△AEQ和△BFQ中$\left\{\begin{array}{l}{∠AQE=∠BQF}\\{∠AEQ=BFQ}\\{AQ=BQ}\end{array}\right.$
∴△AEQ≌△BFQ，
∴QE=QF，
（2）∵∠BCF+∠ECA=90°，∠EAC+∠ECA=90°
∴∠BCF=∠EAC
在△BCF和△CAE中：$\left\{\begin{array}{l}{∠BFC=∠CEA=90°}\\{∠BCF=∠CAE}\\{BC=CA}\end{array}\right.$
∴△BCF≌△CAE（AAS）
∴BF=CE  CF=AE
∴BF=CF+EF=AE+EF
（3）延长EQ交BF于G
∵AE⊥CE、BF⊥CE
∴∠AEF=∠BFE=90°
∴AE∥BF
∴∠EAQ=∠GBQ
在△AEQ和△BGQ中：$\left\{\begin{array}{l}{∠EAQ=∠GBQ}\\{∠AQE=∠BQG}\\{AQ=BQ}\end{array}\right.$
∴△AEQ≌△BGQ
∴AE=BG、EQ=GQ
∵AE=CF
∴BG=CF
∵BF=CE
∴BF-BG=CE-CF，即GF=EF
∴△GFE是等腰直角三角形
∵EQ=GQ
∴QF⊥EG、QF=$\frac{1}{2}$EG=QE=$\sqrt{2}$
∴EF=$\sqrt{Q{E}^{2}+Q{F}^{2}}$=2
∴在Rt△ACE中：AC=$\sqrt{A{E}^{2}+E{C}^{2}}$=10．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，判断出△AEQ≌△BGQ是解本题的关键．