Question

如果一个三角形的面积和周长都被一直线平分，那么该直线必通过这个三角形的（　　）

• A、内心
• B、外心
• C、重心
• D、垂心

Answer 1

分析：设直线DE平分△ABC的周长和面积，D，E分别在边AB和AC上，作∠A的平分线交DE于P，记P到AB，AC的距离为r，P到BC的距离为r₁，得出方程组

AD+AE=DB+BC+CE r 2 (AD+AE)= r 2 (DB+CE)+ r1 2 BC

，解得r=r₁，再选出答案即可．

解答：解：设直线DE平分△ABC的周长和面积，D，E分别在边AB和AC上，作∠A的平分线交DE于P，记P到AB，AC的距离为r，P到BC的距离为r₁，于是依题意有

AD+AE=DB+BC+CE r 2 (AD+AE)= r 2 (DB+CE)+ r1 2 BC

解得r=r₁，即P为△ABC的内心，
故选A．

点评：本题考查了三角形的内切圆，此题难度较大．