Question

已知一次函数y₁=x+b的图象与二次函数y₂=a（x²+bx+）（a≠0，a，b为常数）的图象交于A、B两点，且点A的坐标为（0，3）．
（1）求出a，b的值，并写出函数y₁，y₂的解析式；
（2）验证点B的坐标为（-2，1），并写出当y₁≥y₂时x的取值范围；
（3）设s=y₁+y₂，t=y₁-y₂，若n≤x≤m时，s随着x的增大而增大，且t也随着x的增大而增大，求n的最小值和m的最大值．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）先把A（0，3）代入y₁=x+b求得b的值，然后再代入y₂=a（x²+3x+3）（a≠0，a，b为常数），求得a的值，即可求得函数y₁，y₂的解析式；
（2）把x=-2，分别代入y₁=x+3，y₂=x²+3x+3，y₁=y₂=1，从而验证点B的坐标为（-2，1），根据直线和抛物线的交点坐标和抛物线的开口方向即可得出当y₁≥y₂时x的取值范围；
（3）先求得s=y₁+y₂，t=y₁-y₂的函数关系式，然后求得它们的对称轴，根据对称轴即可求得n的最小值和m的最大值．

解答：解：（1）把A（0，3）代入y₁=x+b得：b=3，
∴一次函数解析式：y₁=x+3，
把A（0，3）代入y₂=a（x²+3x+3）（a≠0，a，b为常数）得3a=3，解得：a=1，
∴二次函数的解析式为：y₂=x²+3x+3；

（2）把x=-2，分别代入y₁=x+3，y₂=x²+3x+3，
得：y₁=-2+3=1，y₂=（-2）²+3×（-2）+3=1，
所以B的坐标为（-2，1），
∵二次函数的解析式为：y₂=x²+3x+3；
∴抛物线的开口向上，
∵A的坐标为（0，3），B的坐标为（-2，1），
∴当-2≤x≤0时，y₁≥y₂；

（3）∵y₁=x+3，y₂=x²+3x+3，
∴s=y₁+y₂=x²+4x+6，t=y₁-y₂=-x²-2x，
即s=x²+4x+6，t=-x²-2x，
∴抛物线s=x²+4x+6的对称轴为x=-2，抛物线t=-x²-2x的对称轴为x=-1，
∵当x＞-2时，s随x的增大而增大，当x＜-1，t随x的增大而增大，
又∵n≤x≤m时，s随着x的增大而增大，且t也随着x的增大而增大，
∴n的最小值为-2和m的最大值-1．

点评：此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，二次函数和一次函数的性质，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．