Question

3．已知：点A（6，0）和B（0，3），点C是线段AB上的点（不与A，B重合），过C分别作CD⊥x轴于D，作CE⊥y轴于E，设过点C，E的抛物线y=ax²+bx+c的顶点为M，点M落在四边形ODCE内（包括四条边）．
（1）若四边形ODCE是正方形时，求a的取值范围；
（2）若P为直线AB上的一个动点，点M关于直线CE的对称点为N，若以E，C，N，P为顶点的四边形为平行四边形时，求点C横坐标x_c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求得直线AB的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+3，由题意可设C（a，a），则有-$\frac{1}{2}$a+3=a，求得a=2，
根据题意顶点结论；
（2）由题意得C（x_c，-$\frac{1}{2}$x_c+3），E（0，-$\frac{1}{2}$x_c+3），CE=x_c，x_M=x_N=$\frac{{x}_{c}}{2}$，根据矩形的性质得到PN∥CE，PN=CE，于是得到x_P=-$\frac{{x}_{c}}{2}$，y_P=$\frac{1}{4}$x_c+3=y_N，由于点M关于直线CE的对称点为N，得到y_m=-$\frac{5}{4}$x_c+3，于是得到结论．金额：0＜x_c≤$\frac{12}{5}$．

解答 解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，
∵点A（6，0）和B（0，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{6k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴y=-$\frac{1}{2}$x+3，
由题意可设C（a，a），则有-$\frac{1}{2}$a+3=a，
∴a=2，
∴C（2，2）；
∵点E在y轴上，
∴E（0，2），
∵抛物线的顶点在正方形内，且过C，E两点，
∴a＞0，抛物线的对称轴为x=1，∵$\left\{\begin{array}{l}{4a+2b+c=2}\\{c=2}\end{array}\right.$，
∴b=-2a，
∴顶点的纵坐标为2-a，
∴0≤2-a＜2，解得：0＜a＜2；

（2）由题意得C（x_c，-$\frac{1}{2}$x_c+3），E（0，-$\frac{1}{2}$x_c+3），CE=x_c，x_M=x_N=$\frac{{x}_{c}}{2}$，
∵以E，C，N，P为顶点的四边形为平行四边形，P在直线AB上，点M落在四边形ODCE内，N在CE上方，
∴PN∥CE，PN=CE时成立，
∴x_P=-$\frac{{x}_{c}}{2}$，y_P=$\frac{1}{4}$x_c+3=y_N，
∵点M关于直线CE的对称点为N，
∴y_m=-$\frac{5}{4}$x_c+3，
∴0≤-$\frac{5}{4}$x_c+3＜-$\frac{1}{2}$x_c+3，
解得：0＜x_c≤$\frac{12}{5}$．

点评 本题考查了二次函数的综合题，待定系数法求函数的解析式，矩形的性质，正确的理解题意是解题的关键．