Question

14．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：DE=AD+BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，请写出DE、AD、BE之间的等量关系并加以证明．
（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE之间又有怎样的等量关系？请直接写出结论．

Answer 1

分析 （1）由垂直得∠ADC=∠BEC=90°，由同角的余角相等得：∠DAC=∠BCE，因此根据AAS可以证明）△ADC≌△CEB，结合全等三角形的对应边相等证得结论；
（2）根据全等三角形的判定定理AAS推知△ACD≌△CBE，然后由全等三角形的对应边相等、图形中线段间的和差关系以及等量代换证得DE+BE=AD；
（3）DE、AD、BE具有的等量关系为：DE=BE-AD（或AD=BE-DE，BE=AD+DE等）．证明的方法与（2）相同．

解答 证明：（1）如图1，∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠DAC+∠ACD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，
∴∠DAC=∠BCE，
在△ADC和△CEB中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠ADC=∠BEC}\\{∠DAC=∠BCE}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△CEB；
∴DC=BE，AD=EC，
∵DE=DC+EC，
∴DE=BE+AD．

（2）解：DE+BE=AD．理由如下：
如图2，∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°．
又∵AD⊥MN于点D，
∴∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠CAD=∠BCE．
在△ACD和△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADC=∠CEB=90°}\\{∠CAD=∠BCE}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴CD=BE，AD=CE，
∴DE+BE=DE+CD=EC=AD，即DE+BE=AD．

（3）解：DE=BE-AD（或AD=BE-DE，BE=AD+DE等）．理由如下：
如图3，易证得△ADC≌△CEB，
∴AD=CE，DC=BE，
∴DE=CD-CE=BE-AD，即DE=BE-AD．

点评 本题考查了几何变换综合题，等腰直角三角形和全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的四种判定方法是关键：SSS、SAS、AAS、ASA；在证明线段的和与差时，利用全等三角形将线段转化到同一条直线上得出结论．