Question

已知三角形三边长恰是三个连续正整数，其周长和面积分别为p₁，S₁．将三边都增加10后得到新的三角形周长和面积分别为p₂，S₂．若p₁p₂=S₁S₂．求原三角形最小角的正弦值．

Answer 1

考点：三角形边角关系

专题：

分析：设原三角形三边的长分别为：n-1，n，n+1（n≥3，n∈N⁺）．利用三角形的周长公式得到三角形的周长、由海伦公式得到三角形的面积．结合已知条件列出关于n的方程，通过解方程来求n的值；则易求原三角形的三边长，根据勾股定理的逆定理可以判定原三角形是直角三角形．所以由锐角三角函数的定义来求最小角的正弦值即可．

解答：解：设原三角形三边的长分别为：n-1，n，n+1（n≥3，n∈N⁺）
p₁=3n，p₂=3n+30
s₁=

3n 2 •( 3n 2 -n+1)( 3n 2 -n)( 3n 2 -n-1)

（海伦公式）
=

n

4

3(n+2)(n-2)

s₂=

n+10

4

3(n+12)(n+8)

．
∵p₁p₂=S₁S₂．
∴3n•（3n+30）=

n

4

3(n+2)(n-2)

•

n+10

4

3(n+12)(n+8)

．
解得 n=4
∴原三角形三边长是3，4，5．
∵3²+4²=5²，
∴原三角形是直角三角形，
∴原三角形最小角的正弦值是

3

5

．

点评：本题考查了三角形的边角关系．解题的关键是熟记海伦公式和三角形的周长公式．