Question

8．如图，在△ABC中，AB=12，∠B=2∠C，AD为高，AE是中线，则线段DE的长为6．

Answer 1

分析 过E点作ME平行于AD交AC于M，首先利用相似三角形得到$\frac{AB}{MA}=\frac{CB}{MB}$=$\frac{AC}{MC}$，然后根据ME∥AD利用平行线分线段成比例定理得到$\frac{CE}{DE}=\frac{CM}{AM}$，CE=$\frac{1}{2}$CB，最后根据两个比例式得到AB=2DE，从而利用AB的长求得DE的长．

解答 解：过E点作ME平行于AD交AC于M，
∵AD是高线，
∴AD⊥CB，
∴ME⊥CB．
连接BM，在△CBM中ME是中线也是高线，
∴△MBE是等腰三角形，
∴BM=CM，∠C=∠CBM，
又∵∠B=2∠C，
∴∠MBA=∠C，
又∵∠CAB=∠CAB，
∴△MAB∽△BAC，
∴$\frac{AB}{MA}=\frac{CB}{MB}=\frac{AC}{MC}$，．
∵ME∥AD，
∴$\frac{CE}{ED}=\frac{CM}{MA}=\frac{1}{2}$，CE=$\frac{1}{2}$CB，
∴$\frac{CB}{CM}$=$\frac{2ED}{AM}$，
∴AB=2DE，
∵AB=12，
∴DE=6．
故答案为：6．

点评 本题考查了等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，题目不大，但难度较大，正确的作出辅助线是解题的关键．