Question

已知：AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CD是⊙O的切线，AD⊥CD于D．
（1）求证：AC是∠DAB的平分线；
（2）若AC=5，AD=4，求⊙O的直径．

Answer 1

考点：切线的性质,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）由DC为圆O的切线，连接OC，利用切线的性质得到CD与OC垂直，再由AD与DC垂直，得到AD与OC平行，利用两直线平行得到一对内错角相等，再由OA=OC，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换即可得证；
（2）连接OC，利用直径所对的圆周角为直角得到三角形ABC为直角三角形，再由（1）中AC为角平分线得到一对角相等，可得出三角形ACD与三角形ABC相似，由相似得比例，求出AB的长，即为圆的直径．

解答：（1）证明：连接OC
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD                                     
又∵AD⊥CD∴OC∥AD
∴∠DAC=∠ACO
又∵OA=OC∴∠ACO=∠OAC
∴∠DAC=∠OAC
∴AC是∠DAB的平分线

（2）∵AB是⊙O的直径
∴∠ACB=90°
∴在△ACD和△ABC中，∠ADC=∠ACB，∠DAC=∠CAB
∴△ADC∽△ACB
∴

AD

AC

=

AC

AB

  ，即 

4

5

=

5

AB

∴AB=

25

4

点评：此题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．