Question

1．如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点P在对角线AC上，一条直角边经过点B，另一条直角边交边DC于点E，
（1）求证：PB=PE；
（2）如图2，移动三角板，使三角板的直角顶点P在对角线AC上，一条直角边经过点B，另一条直角边交DC的延长线于点E，PB=PE还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（3）在图1中，请直接写出线段PC，PA，CE之间的一个等量关系（不必证明）

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质，可得BC=CD，∠ACB=∠ACD=45°，根据全等三角形的判定与性质，可得∠PBC=∠PDC，PB=PD，根据圆内接四边形的性质，可得∠PBC+∠PEC=180°，根据补角的性质，可得∠PED=∠PDE，根据等腰三角形的判定，可得答案；
（2）根据正方形的性质，可得BC=CD，∠ACB=∠ACD=45°，根据全等三角形的判定与性质，可得∠PBC=∠PDC，PB=PD，根据三角形的内角和，可得∠PBC=∠PEC，根据等腰三角形的判定，可得答案；
（3）证明PA=$\sqrt{2}$PG，PC=$\sqrt{2}$CF即可．

解答 解：（1）证明：如图1，连接PD，

∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠ACB=∠ACD=45°．
在△PBC和△PDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=CD}\\{∠ACB=∠ACD}\\{PC=PC}\end{array}\right.$，
∴△PBC≌△PDC （SAS），
∴∠PBC=∠PDC，PB=PD．
∵∠BPE，∠BCD，∠PBC，∠PEC是圆内接四边形的内角，∠BPE+∠BCD=180°，
∴∠PBC+∠PEC=180°，
∴∠PED=∠PDE，
∴PD=PE，
∴PB=PE；
（2）仍然成立，理由如下：
连接PD，如图2：
，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠ACB=∠ACD=45°，
在△PBC和△PDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=CD}\\{∠ACB=∠ACD}\\{PC=PC}\end{array}\right.$，
∴△PBC≌△PDC （SAS），
∴∠PBC=∠PDC，PB=PD．
若BC与PE相交于点O，在△PBO和△CEO中，
∠POB=∠EOC，∠OPB=∠OCE，
∠PBC=180°-∠OPB-∠POB，∠PEC=180°-∠EOC-∠OCE，
∴∠PBC=∠PEC，
∴∠PEC=∠PDC，
∴PD=PE，
∴PB=PE
（3）如图3，过点P作PG⊥AD，PF⊥CD垂足分别为G、F，

∵PF⊥CD，PG⊥AD，且，∠PCF=∠PAG=45°，
∴△PCF和△PAG均为等腰直角三角形，
∵四边形DFPG为矩形，
∴PA=$\sqrt{2}$PG，PC=$\sqrt{2}$CF，
∵PG=DF，DF=EF，
∴PA=$\sqrt{2}$EF，
∴PC=$\sqrt{2}$CF=$\sqrt{2}$（CE+EF）=$\sqrt{2}$CE+$\sqrt{2}$EF=$\sqrt{2}$CE+PA，
即PC、PA、CE满足关系为：PC=$\sqrt{2}$CE+PA．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、圆内接四边形的性质、补角的性质、等腰三角形的判定，解答本题时充分利用正方形的特殊性质，注意在正方形中的特殊三角形的应用，搞清楚正方形对角线上点的特点，正方形中的三角形的三边关系，有助于提高解题能力．