Question

1．阅读解答：
2¹-2⁰=2-1=2⁰
2²-2¹=4-2=2¹
2³-2²=8-4=2²
…
（1）探索上面式子的规律，试写出第n个等式并用因式分解的方法说明其成立；
（2）计算：2⁰+2¹+2²+2³+…+2²⁰¹⁴+2²⁰¹⁵．

Answer 1

分析 （1）根据式子规律可得2ⁿ-2^n-1=2^n-1，然后利用提公因式2^n-1可以证明这个等式成立；
（2）设题中的表达式为a，再根据同底数幂的乘法得出2a的表达式，相减即可．

解答 解：（1）第n个等式为：2ⁿ-2^n-1=2^n-1，
∵左边=2ⁿ-2^n-1=2^n-1（2-1）=2^n-1，
右边=2^n-1，
∴左边=右边，
∴2ⁿ-2^n-1=2^n-1，
（2）设a=2°+2¹+2²+2³+…+2²⁰¹⁴+2²⁰¹⁵．①
则2a=2¹+2²+2³+…+2²⁰¹⁴+2²⁰¹⁵+2²⁰¹⁶②
由②-①得：a=2²⁰¹⁶-1，
∴2⁰+2¹+2²+2³+…+2²⁰¹⁴+2²⁰¹⁵=2²⁰¹⁶-1．

点评 本题考查了因式分解的应用，同时也是一个探寻规律问题；此类题要认真观察，善于联想，总结规律，并能正确的应用规律．