Question

在?ABCD中，AE、CF分别垂直BD，垂足为E、F，G、H是AD、BC的中点，猜想EF、GH的关系，并证明你的结论．

Answer 1

考点：平行四边形的判定与性质

专题：

分析：利用直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半以及等腰三角形的性质推知：EG=FH，EG∥FH．则四边形EGFH是平行四边形，故平行四边形的对角线EF、GH互相平分．

解答：解：EF、GH互相平分．
证明如下：如图，连接EG、EH、HF、FG．
如图，在?ABCD中，AD=BC．
∵点G，H分别是AD与BC的中点，AE⊥BD，CF⊥BD，
∴EG=

1

2

AD=GD，FH=

1

2

BC=BH．
∴EG=FH，∠GED=∠GDE，∠HFB=∠HBF．
又∠ADE=∠CBD．
∴∠GED=∠HFB，
∴EG∥FH．
∴四边形GEHF是平行四边形．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．