Question

如图，边长为4的正方形OABC的顶点O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上．动点D在线段BC上移动（不与B，C重合），连接OD，过点D作DE⊥OD，交边AB于点E，连接OE．
（1）当CD=1时，求点E的坐标；
（2）如果设CD=t，梯形COEB的面积为S，那么是否存在S的最大值？若存在，请求出这个最大值及此时t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）求点E的坐标就是求AE的长（E的横坐标就是正方形的边长），要先求出BE的长，可根据相似三角形OCD和DBE得出关于OC，CD，BD，BE的比例关系式，然后根据正方形的边长和CD的长，来求出BE的长，也就求出AE的长，那么就可得出E的坐标．
（2）求梯形COEB的面积，关键是求BE的长，方法同（1）只不过将CD=1换成了CD=t，求出BE的表达式后，那么可根据梯形的面积公式，即可得出关于S，t的二次函数式，然后根据函数的性质即可得出函数的最大值即S的最大值以及对应的t的值．

解答：解：（1）正方形OABC中，
∵ED⊥OD，即∠ODE=90°
∴∠CDO+∠EDB=90°，
即∠COD=90°-∠CDO，而∠EDB=90°-∠CDO，
∴∠COD=∠EDB
又∵∠OCD=∠DBE=90°
∴△CDO∽△BED，
∴

CD

BE

=

CO

BD

，
即

1

BE

=

4

4-1

，
得BE=

3

4

，
则：AE=4-

3

4

=

13

4

因此点E的坐标为（4，

13

4

）．

（2）存在S的最大值．
由△CDO∽△BED，
∴

CD

BE

=

CO

DB

，
即

t

BE

=

4

4-t

，BE=t-

1

4

t²，S=

1

2

×4×（4+t-

1

4

t²）=-

1

2

（t-2）²+10．
故当t=2时，S有最大值10．

点评：本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质以及二次函数的综合应用，根据相似三角形得出相关线段成比例来求线段的长或表达式是解题的基本思路．