Question

1．如图，AB是⊙O的直径，点C是$\widehat{BD}$的中点，CE⊥AB于点F．
（1）求证：BF=CF；
（2）若CD=3cm，AC=4cm，求⊙O的半径及CE的长．

Answer 1

分析 （1）由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可得∠ACB=90°，又由CE⊥AB，根据同角的余角相等，可证得∠2=∠A，又由点C是$\widehat{BD}$的中点证得∠1=∠A，继而可证得CF﹦BF．
（2）根据勾股定理即可求得直径AB的长，进而求得⊙O的半径，然后证得△CBE∽△ABC，根据相似三角形的性质即可求得CE．

解答 （1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB﹦90°，
又∵CE⊥AB，
∴∠CEB﹦90°，
∴∠2﹦90°-∠3﹦∠A，
又∵C是弧BD的中点，
∴∠1﹦∠A，
∴∠1﹦∠2，
∴CF﹦BF．
（2）解：∵CD=3cm，
∴BC=CD=3cm，
∵AC=4cm，
∴在R△ABC中，AB²=AC²+BC²，
即AB²=3²+4²，
∴AB=5，
∴⊙O的半径为2.5cm，
∵∠2=∠A，∠EBC=∠ABC，
∴△CBE∽△ABC，
∴$\frac{CE}{AC}$=$\frac{BC}{AB}$，即$\frac{CE}{4}$=$\frac{3}{5}$，
∴CE=2.4cm．

点评 此题考查了圆周角定理、直角三角形的性质、等腰三角形的判定、勾股定理的应用以及三角形相似的判定和性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用是解此题的关键．