Question

如图，A（0，1），M（3，2），N（4，4），动点P从点A出发，沿y轴以每秒1个单位长度的速度向上移动，l为过点P且平行于直线y=-x的直线，设移动时间为t秒．
（1）当t=3时，求l的解析式；
（2）若点M，N位于l的异侧，确定t的取值范围；
（3）直接写出t为何值时，点M关于l的对称点落在坐标轴上．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）当t=3时，由动点P从点A出发，沿y轴以每秒一个单位长度的速度向上移动，得出P（0，4），那么b=4，进而求出l的解析式；
（2）分别求出直线l经过点M、点N时的t值，即可得到t的取值范围；
（3）当M点关于l的对称点C落在x轴上，l与x轴交于D，连接DM，利用直线y=-x+4与x轴的夹角为45°，利用对称的性质得DC=DM，所以∠MDC=90°，所以D点坐标为（3，0），再计算直线过D（3，0）时的b的值，得到点P从点A开始移动的距离，从而求出移动的时间；同理可得，M点关于l的对称点C落在y轴上时，计算对应的时间t．

解答：解：（1）当t=3时，
∴P（0，4），
∴b=4，
∴直线l的解析式为y=-x+4；

（2）当直线y=-x+b过点M（3，2）时，
2=-3+b，
解得：b=5，
5=1+t，
解得t=4．
当直线y=-x+b过点N（4，4）时，
4=-4+b，
解得：b=8，
8=1+t，
解得t=7．
故若点M，N位于l的异侧，t的取值范围是：4＜t＜7．

（3）如图，M点关于l的对称点C落在x轴上，l与x轴交于D，连接DM，

∵直线y=-x+b与x轴的夹角为45°，
而DC=DM，
∴∠MDC=90°，
∴D点坐标为（3，0），
∴DC=DM=2，
把D（3，0）代入y=-x+b得-3+b=0，解得b=3，
∴P（0，3），
∴PA=3-1=2
∴t=2时，点M关于直线l的对称点落在x轴上；
同理可得，M点关于l的对称点C落在y轴上时，直线y=-x+b过点（3，-1），
把（3，-1）代入y=-x+b得-3+b=-1，解得b=2，
而2-1=1，
∴t=1时，点M关于直线l的对称点落在y轴上，
∴当t=1或2时，点M关于直线l的对称点落在坐标轴上．

点评：本题是一次函数的综合题，考查了一次函数与几何变换：直线y=kx+b沿y轴向上平移m个单位所得直线解析式为y=kx+b+m，沿y轴向下平移m个单位所得直线解析式为y=kx+b-m．