Question

12．如图：矩形ABCD中AB=2，BC=$\sqrt{10}$，⊙A是以A为圆心，半径r=1的圆，若⊙A绕着点B顺时针旋转，旋转角为α（ 0°＜α＜180°）；当旋转后的圆与矩形ABCD的边相切时，α=60或120度．

Answer 1

分析 由⊙A的半径为1，可知当圆在矩形内部时，则与AD、BC都相切，设与BC的切点为E，此时圆心为A′，连接A′E、A′B，可求得∠A′BE=30°，则可求得∠ABA′；当圆在矩形外部与BC相切时，设圆心为A″，同理可求得∠A″BE=30°，则可求得∠A″BA，可求得答案．

解答 解：
∵⊙A是以A为圆心，半径r=1的圆，AB=2，
∴当圆在矩形内部时，则与AD、BC都相切，
设与BC的切点为E，此时圆心为A′，连接A′E、A′B，如图，
则在Rt△A′BE中，A′E=1，A′B=AB=2，
∴∠A′BE=30°，
∴∠A′BA=90°-30°=60°；
当圆在矩形外部与BC相切时，设圆心为A″，
同理可求得∠A″BE=30°，
∴∠A″BA=90°+30°=120°；
综上可知α=60°或120°，
故答案为：60或120．

点评 本题主要考查切线的性质、旋转的性质，掌握旋转前后的对应边相等及过切点的半径与切线垂直是解题的关键．