Question

4．如图（1），四边形AODB是边长为2的正方形，C为BD的中点，以O为原点，OA、OD所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系．
（1）直接写出A、B、D三点的坐标；
（2）求直线AC的一次函数表达式；
（3）如图（2），将三角形ABC沿AC翻折，使点B落在直线AF上的点E处，求F点的坐标（F点在x轴上）．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质，可得OA=AB=BD=OD，可得A、B、D点的坐标；
（2）根据中点的性质，可得C点坐标，根据待定系数法，可得AC的解析式；
（3）根据折叠的性质，可得AE与AB的关系，CE与BC的关系，根据勾股定理，可得方程组，根据解方程组，可得E点坐标，根据待定系数法，可得AE的解析式，根据函数值，可得相应的自变量的值．

解答 解：（1）由四边形AODB是边长为2的正方形，以O为原点，得
A（0，2），B（2，2），D（2，0）；
（2）由四边形AODB是边长为2的正方形，C为BD的中点，得
C（2，1）．
设直线AC的一次函数表达式y=kx+b，将A、C点坐标代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{2k+b=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
直线AC的一次函数表达式y=-$\frac{1}{2}$x+2；
（3）设E（a，b），由折叠的性质，得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{\frac{6}{5}k+b=\frac{2}{5}}\end{array}\right.$
AE=AB=2，CE=BC=1，
由勾股定理，得
$\left\{\begin{array}{l}{（a-0）^{2}+（b-2）^{2}=4}\\{（a-2）^{2}+（b-1）^{2}=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=2}\end{array}\right.$（不符合题意，舍）；$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{6}{5}}\\{b=\frac{2}{5}}\end{array}\right.$，
E（$\frac{6}{5}$，$\frac{2}{5}$）．
设AE的解析式为y=kx+b，
将A、E点坐标代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{\frac{6}{5}k+b=\frac{2}{5}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{3}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
AE的解析式为y=-$\frac{4}{3}$x+2，
当y=0时，-$\frac{4}{3}$x+2=0，
解得x=$\frac{3}{2}$，
F（$\frac{3}{2}$，0）．

点评 本题考查了一次函数综合题，利用了正方形的性质得出正方形的顶点坐标，利用待定系数法求函数解析式，利用翻折的性质得出AE=AB=2，CE=BC=1，解方程组是解题关键．