Question

3．如图，在正方形ABCD中，E是BC上一点，且CE=4，将正方形折叠，使点A与点E重合折痕为MN，若tan∠EAB=$\frac{1}{3}$，求cos∠ENB的值．

Answer 1

分析 首先设BE=x，由在正方形ABCD中，E是BC上一点，且CE=4，可得AB=x+4，又由tan∠EAB=$\frac{1}{3}$，即可求得x的值，然后由设BN=y，由折叠的性质，可得AN=EN=6-y，然后由勾股定理得方程y²+2²=（6-y）²，继而求得答案．

解答 解：设BE=x，
∵在正方形ABCD中，E是BC上一点，且CE=4，
∴AB=BC=BE+CE=x+4，∠B=90°，
∵tan∠EAB=$\frac{BE}{AB}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{x}{x+4}$=$\frac{1}{3}$，
解得：x=2，
∴BE=2，
∴AB=x+4=6，
设BN=y，则AN=AB-BN=6-y，
∵将正方形折叠，使点A与点E重合折痕为MN，
∴EN=AN=6-y，
∵BN²+BE²=EN²，
∴y²+2²=（6-y）²，
解得：y=$\frac{8}{3}$，
∴BN=$\frac{8}{3}$，EN=$\frac{10}{3}$，
∴cos∠ENB=$\frac{BN}{EN}$=$\frac{4}{5}$．

点评 此题考查了折叠的性质、正方形的性质、勾股定理以及三角函数等知识．注意折叠中的对应关系，注意掌握方程思想的应用是解此题的关键．