Question

19．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点D，点C为抛物线的顶点，过B，C两点作直线BC，抛物线上的一点F的横坐标是-2$\sqrt{3}$，过点F作直线FG∥BC交x轴于点G．
（1）求直线BC的解析式和点G的坐标；
（2）点P是直线BC上方抛物线上的一动点，连接PG与直线BC交于点E，连接EF，PF，当△PEF的面积最大时，在x轴上有一点R，使PR+CR的值最小，求出点R的坐标，并直接写出PR+CR的最小值；
（3）如图2，连接AD，作AD的垂直平分线与x轴交于点K，平移抛物线，使抛物线的顶点C在射线BC上移动，平移的距离是t，平移后抛物线上点A，点C的对应点分别是点A′，点C′，连接A′C′，A′K，KC′，△A′KC′是否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先求出B、C两点坐标，即可解决直线BC的解析式，求出FG的解析式即可求出点G的坐标．
（2）如图1中，过点G作y轴的平行线，过F作x轴的平行线交于点K，连接PK．设P（m，-$\frac{1}{3}$m²+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$m+3），因为BC∥FG，FG是定值，所以△EFG的面积是定值，所以△PFG的面积最大时，△PEF的面积最大，构建二次函数，利用二次函数的性质求出点P坐标，作P关于x轴的对称点P′），连接P′C交x轴于R，此时CR+RP最小，由此即可解决问题．
（3）分三种情形讨论即可①当KA′=A′C′=AC=2$\sqrt{7}$时，②如图3中，当C′A′=C′K时，③当KA′=KC′时，分别列出方程求解即可．

解答 解：（1）对于抛物线y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x+3，令y=0得到-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x+3=0，解得x=-$\sqrt{3}$或3$\sqrt{3}$，
∴点B坐标（3$\sqrt{3}$，0），
∵y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x+3=-$\frac{1}{3}$（x-$\sqrt{3}$）²+4，
∴顶点C坐标（$\sqrt{3}$，4），
设直线BC的解析式为y=kx+b则有$\left\{\begin{array}{l}{3\sqrt{3}k+b=0}\\{\sqrt{3}k+b=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{2\sqrt{3}}{3}}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x+6，
∴F（-2$\sqrt{3}$，-5），
∵FG∥BC，
∴直线FG的解析式为y=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x-9，令y=0得到x=-$\frac{9\sqrt{3}}{2}$，
∴点G坐标（-$\frac{9\sqrt{3}}{2}$，0）．

（2）如图1中，过点G作y轴的平行线，过F作x轴的平行线交于点K，连接PK．设P（m，-$\frac{1}{3}$m²+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$m+3），

∵BC∥FG，FG是定值，
∴△EFG的面积是定值，
∴△PFG的面积最大时，△PEF的面积最大，
∵S_△PFG=S_△PGK+S_△PFK-S_△FGK=$\frac{1}{2}$•5•（m+2$\sqrt{3}$）+$\frac{1}{2}$•$\frac{5\sqrt{3}}{2}$•（-$\frac{1}{3}$m²+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$m+3+5）-$\frac{1}{2}$•5•$\frac{5\sqrt{3}}{2}$=-$\frac{5\sqrt{3}}{12}$m²+5m+$\frac{35\sqrt{3}}{4}$=-$\frac{5\sqrt{3}}{12}$（m-2$\sqrt{3}$）²+$\frac{55\sqrt{3}}{4}$，
∵-$\frac{5\sqrt{3}}{12}$＜0，
∴m=2$\sqrt{3}$时，△PFG的面积最大，即△PEF的面积最大，
∴P（2$\sqrt{3}$，3），
作P关于x轴的对称点P′（2$\sqrt{3}$，-3），连接P′C交x轴于R，此时CR+RP最小，最小值=CP′=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{7}^{2}}$=2$\sqrt{13}$．
∵直线P′C的解析式为y=-$\frac{7\sqrt{3}}{3}$x+11，y=0时，x=$\frac{11\sqrt{3}}{7}$，
∴点R坐标为（$\frac{11\sqrt{3}}{7}$，0）．

（3）如图2中，连接DK，DA．

∵A（-$\sqrt{3}$，0），D（0，3），
∴OA=$\sqrt{3}$，DO=3，
∴tan∠DAO=$\sqrt{3}$，
∴∠DAO=60°，
∵KA=KD，
∴△ADK是等边三角形，
∴AD=AK=2$\sqrt{3}$，K（$\sqrt{3}$，0），
①当KA′=A′C′=AC=2$\sqrt{7}$时，
∵AA′=t，
∵tan∠A′AM=tan∠ABC=$\frac{4}{2\sqrt{3}}$，
∴可得A′M=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$t，AM=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$t，
在Rt△A′MK中，A′K²=A′M²+KM²=$\frac{4}{7}$t²+（$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$t+2$\sqrt{3}$）²，
∴$\frac{4}{7}$t²+（$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$t+2$\sqrt{3}$）²=（2$\sqrt{7}$）²，
解得t=$\frac{2\sqrt{259}-6\sqrt{7}}{7}$或$\frac{2\sqrt{259}-6\sqrt{7}}{7}$（舍弃）．

②如图3中，当C′A′=C′K时，连接CK．作KM⊥BC于M．

在Rt△BCK中，
∵$\frac{1}{2}$•BK•CK=$\frac{1}{2}$•CB•KM，
∴KM=$\frac{CK•KB}{BC}$=$\frac{4×2\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$，
∴CM=$\sqrt{K{C}^{2}-K{M}^{2}}$=$\sqrt{16-\frac{48}{7}}$=$\frac{8}{\sqrt{7}}$，
∴C′K²=KM²+C′M²=$\frac{48}{7}$+（t+$\frac{8}{\sqrt{7}}$）²，
∴$\frac{48}{7}$+（t+$\frac{8}{\sqrt{7}}$）²=（2$\sqrt{7}$）²，
解得t=$\frac{2\sqrt{259}-8\sqrt{7}}{7}$或$\frac{-2\sqrt{259}-8\sqrt{7}}{7}$（舍弃）．

③当KA′=KC′时，$\frac{4}{7}$t²+（$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$t+2$\sqrt{3}$）²=$\frac{48}{7}$+（t+$\frac{8}{\sqrt{7}}$）²，
解得t=-$\sqrt{7}$（不合题意舍弃），
综上所述，当△A′KC′为等腰三角形时，t=$\frac{2\sqrt{259}-6\sqrt{7}}{7}$或$\frac{2\sqrt{259}-8\sqrt{7}}{7}$．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、最值问题、三角形的面积等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数，利用二次函数的性质确定最值问题，学会利用对称解决最小值问题，学会用方程的思想思考问题，题目比较难，属于中考压轴题．