Question

如图，在直角梯形纸片ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，将纸片沿过点A的直线折叠，使点B与点D重合，折痕为AG．连接DG并展开纸片．
（1）判断四边形ABGD的形状并说明你的理由；
（2）连接BD，交AG于点E，作∠BAG的平分线，交BD于点F，求证：EF+AG=AB．

Answer 1

解：（1）四边形ABGD是正方形．
∵∠ABC=90°，AD∥BC，∴∠BAD=90°．
由沿AG折叠后△ABG与△ADG重合，知AB=AD，∠ADG=90°．
∴四边形ABGD是矩形，且邻边AB，AD相等．
∴四边形ABGD是正方形；

（2）证明：过点F作FM⊥AB于点M，在正方形ABGD中，AG⊥BD于点E，
∴AE=AG，∠ABD=∠GBD=45°．
∵AF平分∠BAG，∴EF=MF．
又∵AF=AF，∴Rt△AMF≌Rt△AEF，∴AE=AM
∠MFB=∠ABF=45°．∴MF=MB，∴MB=EF．
∴EF+AG=MB+AE=MB+AM=AB．
分析：由已知可得四边形ABGD是矩形，又因为AB=AD，所以四边形ABGD是正方形；过点F作FM⊥AB于点M，在正方形ABGD中，AG⊥BD于点E，则AE=AG，利用HL判定Rt△AMF≌Rt△AEF从而得到AM=AE，又知∠MFB=∠ABF=45°．所以MF=MB=EF，所以EF+AG=MB+AE=MB+AM=AB．
点评：此题主要考查学生对全等三角形的判定及正方形的判定的理解及运用．