Question

4．已知如图，∠BAC=90°，AD⊥BC，∠1=∠2，EF⊥BC，求证：$\frac{EF}{DF}=\frac{BC}{AC}$．

Answer 1

分析 根据已知条件证得△ABE≌△BFE，得到AE=EF，由于AD⊥BC，EF⊥BC，于是得到EF∥AD，求得比例式$\frac{AE}{DF}=\frac{EF}{DF}=\frac{CE}{CF}$，由△ADC∽△EFC，得到$\frac{CE}{CF}$=$\frac{BC}{AC}$，等量代换得到结论．

解答 解：∵∠BAC=90°，EF⊥BC，
∴∠BAE=∠BFE=90°，
在△ABE与△FBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠BFE}\\{∠1=∠2}\\{BE=BE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△BFE，
∴AE=EF，
∵AD⊥BC，EF⊥BC，
∴EF∥AD，
∴$\frac{AE}{DF}=\frac{EF}{DF}=\frac{CE}{CF}$，
∵∠BAC=∠CFE=90°，∠C=∠C，
∴△ADC∽△EFC，
∴$\frac{CE}{CF}$=$\frac{BC}{AC}$，
∴$\frac{EF}{DF}=\frac{BC}{AC}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握各定理是解题的关键．