Question

7．如图，在等边三角形ABC中，AB=6，D是BC上一点，且BC=3BD，△ABD绕点A旋转后得到△ACE，则AE的长度为2$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 作AM⊥BC于M，由等边三角形的性质得出BC=AB=6，BM=3，由勾股定理求出AM，D是BC上一点，且BC=3BD，根据等边三角形的性质，求得BD的长，得出DM，再由勾股定理求出AD，即可得出结果．

解答 解：作AM⊥BC于M，如图所示：
∵在等边三角形ABC中，AB=6，
∴BC=AB=6，BM=$\frac{1}{2}$BC=3，
∴AM=$\sqrt{A{B}^{2}-B{M}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，
∵BC=3BD，
∴BD=$\frac{1}{2}$BC=2，
∴DM=3-2=1，
∵△ABD绕点A旋转后得到△ACE，
∴△ABD≌△ACE，
∴AE=AD．
∴AE=AD=$\sqrt{D{M}^{2}+A{M}^{2}}$=$\sqrt{1+27}$=2$\sqrt{7}$，
故答案为：2$\sqrt{7}$．

点评 此题考查了旋转的性质与等边三角形的性质、勾股定理．熟练掌握等边三角形的性质和勾股定理是解决问题的关键．