在四边形ABCD中.AB∥CD.∠BCD=90°.AB=AD=10cm.BC=8cm.点P从点A出发.沿折线A-B-C-D方向以2cm/s的速度匀速运动,点Q从点D出发.沿线段DC方向以1cm/s的速度匀速运动.已知两点同时出发.当一个点到达终点时.另一点也停止运动.设运动时间为t(s)．(1)求CD的长,(2)连接PQ.当t为何值时.∠PQC=45°?(3)在点P.Q� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

9．

在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°，AB=AD=10cm，BC=8cm，点P从点A出发，沿折线A-B-C-D方向以2cm/s的速度匀速运动；点Q从点D出发，沿线段DC方向以1cm/s的速度匀速运动，已知两点同时出发，当一个点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为t（s）．
（1）求CD的长；
（2）连接PQ，当t为何值时，∠PQC=45°？
（3）在点P，Q的运动过程中，是否存在某一时刻，使得△BPQ的面积为10cm²？若存在，请求出所有满足条件的t的值；若不存在，请说明理由．

分析（1）过A点作AM⊥CD于M，根据勾股定理可求得DM=6，进而求得DC=16；
（2）当∠PQC=45°时，需要分类讨论：①当点P在线段AB上，②当点P在线段BC上，通过作辅助线构建等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质列出方程，由方程的解即可得到答案；
（3）分三种情况讨论：①当点P在线段AB上，②当点P在线段BC上，③当点P在线段CD上，根据三种情况点的位置，即可求得t的值．

解答解：（1）如图1，过A点作AM⊥CD于M，则四边形AMCB是矩形，
∴AM=BC=8，MC=AB=10，
∵AD=10，
∴DM=$\sqrt{A{D}^{2}-A{M}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，
∴CD=DM+CM=6+10=16；

（2）①当∠PQC=45°时，点P在AB上，点Q在DC上，如图2，
此时PT=QT．
过点P作PT⊥CD于点T，则QT=PT．
由题意得：BP=CT=10-2t，
则QT=16-t-（10-2t）=6+t，PT=8，
∴6+t=8，
∴t=2；
②当∠PQC=45°时，点P在AB上，点Q在DC上，如图3，
此时PC=18-2t，QC=16-t．
由PC=QC得到：18-2t=16-t，
解得t=2（不合题意，舍去）
综上所述，当t=2时，∠PQC=45°；

（3）①当点P在线段AB上时，即0≤t≤5时，如图4，
S_△BPQ=$\frac{1}{2}$BP•BC=$\frac{1}{2}$（10-2t）×8=10，
解得t=3.25；
②当点P在线段BC上时，即5＜t≤9时，如图3，
BP=2t-10，CQ=16-t，
∴S_△BPQ=$\frac{1}{2}$BP•CQ=$\frac{1}{2}$（2t-10）×（16-t）=10，
化简得：t²-21t+90=0，
解得 t₁=15（舍去），t₂=6；
③当点P在线段CD上时，
若点P在Q的右侧，即9≤t≤$\frac{34}{3}$时，则有PQ=34-3t，
S_△BPQ=$\frac{1}{2}$（34-3t）×8=10，
解得t=$\frac{63}{6}$，
若点P在Q的左侧，即$\frac{34}{3}$＜t≤16时，则有PQ=3t-34，
S_△BPQ=$\frac{1}{2}$（3t-34）×8=10，
解得t=$\frac{73}{6}$；
综上，满足条件的t的值存在，分别为3.25或6或$\frac{63}{6}$或$\frac{73}{6}$．