Question

如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABD=∠ACD，AD的延长线交BC于E．
求证：AE⊥BC．

Answer 1

考点：线段垂直平分线的性质,等腰三角形的性质

专题：证明题

分析：首先证明∠DBC=∠DCB，可得DB=DC，根据线段垂直平分线的判定可得D在BC的垂直平分线上，由AB=AC，得出A在BC的垂直平分线上，于是AD垂直平分BC，即AE⊥BC．

解答：证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ABD=∠ACD，
∴∠ABC-∠ABD=∠ACB-∠ACD，
即∠DBC=∠DCB，
∴DB=DC，
∴D在BC的垂直平分线上，
∵AB=AC，
∴A在BC的垂直平分线上，
∵两点确定一条直线，
∴AD垂直平分BC，
∴AE⊥BC．

点评：此题考查了等腰三角形的判定，线段垂直平分线的判定，难度适中．证明出D在BC的垂直平分线上是解题的关键．