题目内容
3．如图，抛物线y=ax2+bx+3交x轴于A、B交y轴于C，抛物线的对称轴为x=1，OB=3AO（1）求抛物线的解析式；
（2）若P为抛物线上一动点，M、N在直线l：y=-3x-6上，PM∥y轴，△PMN是以MN为底的等腰三角形，问是否存在这样的P、M、N三个点，使得△PMN的面积最小？若存在，求其最值；若不存在，请说明理由．
（3）将（2）中直线l沿抛物线的对称轴向上平移m个单位，设平移后的直线交抛物线于F、G两点（抛物线上的点F在点C的左边），连接OF、OC．问是否存在这样的直线，使得△FOG为钝角三角形？若存在，求m的值或取值范围；若不存在，请说明理由．
分析 （1）根据对称轴方程x=$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$列方程即可求得结果．
（2）设P坐标为（x，x2-2x-3），则M点坐标为（x，-3x-6），过点P做MN的垂线，垂足为Q点，则由△PMN是以MN为底的等腰三角形，所以S△PMN=2S△PMQ，在Rt△APMQ中，MQ=3PQ，由勾股定理计算可得PQ=$\frac{\sqrt{10}}{10}$PM，QM=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$PM，由S△PMN=2S△PMQ=$\frac{1}{2}$MN×PQ=$\frac{1}{2}$×2QM×PQ=QM×PQ=$\frac{3}{10}$PM2，因此只需求出PM的最小值即可，
（3）设平移后时直线解析式是y=-3x-6+m，向上平移当∠FOG是直角时，分别过F、G作FK⊥x轴于K，GL⊥x轴于L，得到△FXD∽△OLG，设出点F，G的坐标，代入比例式求得x1x2+y1y2=0，再把F，G点的坐标代入y=-3x-6+m，得到y1=-3x1-6+m，y2=-3x2-6+m．所以y1y2=9x1x2+（18-3m）（x1+x2）+（m-6）2，联立方程组消去y得x2+x+3-m=0，得到x1十x2=-1，x1x2=3-m，代入y1y2即可得到结果．
解答 解：（1）设A（x1，0），B（x2，0），
∴OA=-x1，OB=x2，
∵OB=3AO，对称轴为x=1，
∴$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$=$\frac{{x}_{1}{-3x}_{1}}{2}$=1，
∴x1=-1，x2=3，
∴A（-1，0），B（3，0）
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=a-b-3}\\{0=9a+3b-3}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为：y=x2-2x-3；
（2）设P坐标为（x，x2-2x-3），则M点坐标为（x，-3x-6），
如图1，过点P做MN的垂线，垂足为Q点，则由△PMN是以MN为底的等腰三角形，
所以S△PMN=2S△PMQ，在Rt△APMQ中，MQ=3PQ，
由勾股定理计算可得PQ=$\frac{\sqrt{10}}{10}$PM，QM=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$PM，
∴S△PMN=2S△PMQ=$\frac{1}{2}$MN×PQ=$\frac{1}{2}$×2QM×PQ=QM×PQ=$\frac{3}{10}$PM2，
因此只需求出PM的最小值即可，
PM=yp-yM=（ x2-2x-3）-（-3x-6）=x2+x+3=（x+$\frac{1}{2}$）2+$\frac{11}{4}$，
当x=-$\frac{1}{2}$时，PM有最小值$\frac{11}{4}$，
此时S△PMN=$\frac{3}{10}$PM2=$\frac{363}{160}$；
（3）存在，
设平移后时直线解析式是y=-3x-6+m．
当直线过A、C两点时∠FOG是直角．此时m=3，
当直线过O点时，∠FOG=180°，此时m=6，
继续向上平移当∠FOG是直角时，
如图2，分别过F、G作FK⊥x轴于K，GL⊥x轴于L，
∴△FXD∽△OLG，
设F（x1，y1），G（x2，y2），
易得x1x2+y1y2=0，
∴y1=-3x1-6+m，y2=-3x2-6+m．y1y2=9x1x2+（18-3m）（x1+x2）+（m-6）2
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=-3x-6+m}\\{y{=x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$消去y得x2+x+3-m=0，
∴x1十x2=-1，x1x2=3-m，
解得m=3（舍去）或16，
∴3＜m＜6或6＜m＜16．
∴当3＜m＜6或6＜m＜16时，△FOG为钝角三角形．
点评 本题考查了求二次函数的解析式，二次函数的最值问题，三角形的面积，相似三角形的判定和性质，主要考查学生数形结合的数学思想方法，作出辅助线是做题的关键．
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如图是经典手机游戏“俄罗斯方块”中的图案，图1中有8个矩形，图2中有11个矩形，图3中有15个矩形，根据此规律，图5中共有（ ）个矩形．