Question

13．如图，抛物线y=ax²+bx-3与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C，且其对称轴l为x=-1，点P是抛物线上B，C之间的一个动点（点P不与点B，C重合）．
（1）直接写出抛物线的解析式；
（2）小唐探究点P的位置时发现：当动点N在对称轴l上时，存在PB⊥NB，且PB=NB的关系，请求出点P的坐标；
（3）是否存在点P使得四边形PBAC的面积最大？若存在，请求出四边形PBAC面积的最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由对称轴可求得B点坐标，结合A、B两点坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）过点P作PM⊥x轴于点M，设抛物线对称轴l交x轴于点Q．可证明△BPM≌△NBQ，则可求得PM=BQ，可求得P点的纵坐标，利用抛物线解析式可求得P点坐标；
（3）连接AC，设出P点坐标，则可表示出四边形PBAC的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值．

解答 解：
（1）∵A（1，0），对称轴l为x=-1，
∴B（-3，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b-3=0}\\{9a-3b-3=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=x²+2x-3；

（2）如图1，过点P作PM⊥x轴于点M，

设抛物线对称轴l交x轴于点Q．
∵PB⊥NB，∴∠PBN=90°，
∴∠PBM+∠NBQ=90°．
∵∠PMB=90°，
∴∠PBM+∠BPM=90°．
∴∠BPM=∠NBQ．
又∵∠BMP=∠BNQ=90°，PB=NB，
∴△BPM≌△NBQ．
∴PM=BQ．
∵抛物线y=x²+2x-3与x轴交于点A（1，0）和点B，且对称轴为x=-1，
∴点B的坐标为（-3，0），点Q的坐标为（-1，0）．∴BQ=2．∴PM=BQ=2．
∵点P是抛物线y=x²+2x-3上B、C之间的一个动点，
∴结合图象可知点P的纵坐标为-2，
将y=-2代入y=x²+2x-3，得-2=x²+2x-3，
解得x₁=-1-$\sqrt{2}$，x₂=-1+$\sqrt{2}$（舍去），
∴此时点P的坐标为（-1-$\sqrt{2}$，-2）；

（3）存在．
如图2，连接AC．

可设点P的坐标为（x，y）（-3＜x＜0），则y=x²+2x-3，
∵点A（1，0），∴OA=1．
∵点C是抛物线与y轴的交点，
∴令x=0，得y=-3．即点C（0，-3）．
∴OC=3．
由（2）可知S_{四边形PBAC}=S_△BPM+S_{四边形PMOC}+S_△AOC
=$\frac{1}{2}$BM•PM+$\frac{1}{2}$（PM+OC）•OM+$\frac{1}{2}$OA•OC
=$\frac{1}{2}$（x+3）（-y）+$\frac{1}{2}$（-y+3）（-x）+$\frac{1}{2}$×1×3
=-$\frac{3}{2}$y-$\frac{3}{2}$x+$\frac{3}{2}$．
将y=x²+2x-3代入可得S_{四边形PBAC}=-$\frac{3}{2}$（x²+2x-3）-$\frac{3}{2}$x+$\frac{3}{2}$=-$\frac{3}{2}$（x+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{75}{8}$．
∵-$\frac{3}{2}$＜0，-3＜x＜0，
∴当x=-$\frac{3}{2}$时，S_{四边形PBAC}有最大值$\frac{75}{8}$．此时，y=x²+2x-3=-$\frac{15}{4}$．
∴当点P的坐标为（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{15}{4}$）时，四边形PBAC的面积最大，最大值为$\frac{75}{8}$．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、全等三角形的判定和性质、二次函数的性质、三角形的面积、方程思想等知识．在（1）中注意利用抛物线的对称性，在（2）中求得P点的纵坐标是解题的关键，在（3）中用P点坐标表示出四边形PBAC的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．