Question

1．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，AE平分∠BAD，交BC边于点E，DE与AC交于点F，若∠CDE=2∠CAE，CD-CE=1，AE=2$\sqrt{3}$，则BC边的长为5．

Answer 1

分析 如图，连接BD交AE于O，连接EG，作OM⊥BC于M，DN⊥BC于N．首先证明四边形ABED是菱形，再证明AD=DC，设AB=AD=DC=DE=BE=x，则EC=x-1，由OB=OD，OM∥DN，推出BM=MN，由DE=DC，DN⊥EC，推出EN=NC=$\frac{1}{2}$（x-1），推出BM=$\frac{1}{2}$BN=$\frac{1}{2}$（x+$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$）=$\frac{3x-1}{4}$，推出EM=BE-BM=x-$\frac{3x-1}{4}$=$\frac{x+1}{4}$，由△EOM∽△EBO，可得OE²=EM•EB，由此列出方程即可解决问题．

解答 解：如图，连接BD交AE于O，连接EG，作OM⊥BC于M，DN⊥BC于N．

∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∵∠EAD=∠EAB，
∴∠EAB=∠AEB，
∴AB=BE，∵AD=AB，
∴AD=BE，
∴四边形ABED是平行四边形，∵AB=AD，
∴四边形ABED是菱形，
∴BD⊥AE，OA=OE，
∴GA=GE，
∴∠GAE=∠GEA，
∴∠CGE=2∠GAE，∵∠EDC=2∠CAE，
∴∠FGE=∠FDC，
∵∠GFE=∠DFC，
∴∠GEF=∠DCF，
∵DG=DG，DA=DE，GA=GE，
∴△GDA≌△DGE，
∴∠DAG=∠DEG=∠DCF，
∴DA=DC，设AB=AD=DC=DE=BE=x，则EC=x-1，
∵OB=OD，OM∥DN，
∴BM=MN，
∵DE=DC，DN⊥EC，
∴EN=NC=$\frac{1}{2}$（x-1），
∴BM=$\frac{1}{2}$BN=$\frac{1}{2}$（x+$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$）=$\frac{3x-1}{4}$，
∴EM=BE-BM=x-$\frac{3x-1}{4}$=$\frac{x+1}{4}$，
由△EOM∽△EBO，可得OE²=EM•EB，
∴3=$\frac{x+1}{4}$•x，
∴x²+x-12=0，
∴x=3或-4（舍弃），
∴BC=BE+EC=3+2=5，
故答案为5．

点评 本题考查相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题．