Question

16．已知AB=AC，∠BAC=90°，过点C作AC的垂线交射线AR于点E，将△ACE以AR为轴问上翻折，翻折后点C落在点G处，再过点B作AB的垂线，交射线AG于点D．

（1）如图1，当射线AR与射线AG都在∠BAC的内部时，求证：AD=BD+CE；
（2）如图2，当射线AR在∠BAC的内部，射线AG在的∠BAC外部时，（1）的结论还是否成立，说明理由；
（3）如图3当射线AR与射线AG都在∠BAC的外部时（1）的结论还是否成立，说明理由．

Answer 1

分析 （1）作辅助线，构建全等三角形，证明△ABF≌△ACE，想办法得出DF=AD，从而得出结论；
（2）同理作辅助线，构建△ABF≌△ACE，则∠FAB=∠EAC，∠AEC=∠AFB，再证明∠AFB=∠AEC=∠BAE=∠FAD，根据等角对等边得DF=AD，由全等三角形对应边相等可知：CE=BF，所以CE=BD+AD；
（3）（1）的结论仍然成立，作辅助线构建△ABF≌△ACE，∠FAB=∠EAC，∠AEC=∠AFB，再证明AD=DF，则DF=BD+BF=BD+CE，所以AD=BD+CE．

解答 证明：（1）延长DB至F，使BF=CE，连接AF，
∵AB⊥BD，CE⊥AC，
∴∠ABF=∠ACE=90°，
∵AB=AC，
∴△ABF≌△ACE，
∴∠FAB=∠EAC，
由折叠得：△AGE≌△ACE，
∴∠GAE=∠EAC，
∴∠FAB=∠GAE=∠EAC，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAG+∠GAE+∠EAC=90°，
∴∠BAG+∠FAB+∠GAE=90°，
∵∠F+∠FAB=90°，
∴∠F=∠BAG+∠GAE，
∴∠F=∠BAG+∠FAB，
∴∠F=∠FAD，
∴DF=AD，
∴AD=BD+BF=BD+CE；
（2）（1）的结论不成立，存在CE=BD+AD，理由是：
如图2，延长BD至F，使BF=CE，连接AF，
∵∠ABF=∠ACE=90°，AB=AC，
∴△ABF≌△ACE，
∴∠FAB=∠EAC，∠AEC=∠AFB，
由折叠得：∠GAE=∠EAC，
∴∠FAB=∠GAE，
∴∠FAB-∠GAB=∠GAE-∠GAB，
即∠FAD=∠BAE，
∵∠BAC=90°，∠ACE=90°，
∴AB∥CE，
∴∠BAE=∠AEC，
∴∠AFB=∠AEC=∠BAE=∠FAD，
∴AD=DF，
∴CE=BF=BD+DF，
∴CE=BD+AD；
（3）如图3，当射线AR与射线AG都在∠BAC的外部时，（1）的结论仍然成立，
延长DB至F，使BF=CE，
∵AC=AB，∠ABF=∠ACE=90°，
∴△ABF≌△ACE，
∴∠F=∠AEC，∠BAF=∠EAC，
∴∠BAF+∠FAC=∠EAC+∠FAC=90°，
即∠FAE=90°，
∴∠GAE+∠DAF=90°，
由折叠得：∠GAE=∠EAC，
∴∠GAE=∠EAC=∠BAF，
∵∠ABF=90°，
∴∠F+∠BAF=90°，
∴∠F=∠DAF，
∴AD=DF，
∵DF=BD+BF=BD+CE，
∴AD=BD+CE．

点评 本题是几何变换的综合题，难度适中，考查了全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质和判定；在证明线段的和或差时，通常采用两类方法：①延长短边等于长边；②在长边上截取一线段等于短边，并构建三角形全等，从而得出结论．