Question

13．设P为质数，a，n都是正整数，且2^P+3^P=aⁿ，证明：n=1．

Answer 1

分析 从最小的质数2开始分析，从中寻找规律．当p=2时，aⁿ=2²+3²=13，则a=13，n=1；当p=3时，aⁿ=2³+3³=35，则a=35，n=1；当p=5时，aⁿ=2⁵+3⁵=275=25×11，…则a=275，n=1；依此即可求解．

解答 证明：当p=2时，a=13，故n=1；
当p＞2时，质数p为奇数，aⁿ=2^p+3^p=5（2^p-1-2^p-2×3+…+3^p-1），
故5|2^p+3^p，若n＞1，则有5|（2^p-1-2^p-2×3+…+3^p-1），
注意到a=2 ^p-1-2 ^p-2×3+…+3 ^p-1≡2 ^p-1+2 ^p-1+…+2 ^p-1≡p×2 ^p-1（mod5），
故5|p×2 ^p-1，从而5|p，结合p为质数，知p=5，
此时aⁿ=5²×11，与n＞1矛盾．所以命题成立．

点评 此题主要考查了质数与合数，在归纳过程中，可以发现aⁿ总是5的倍数，且只有p=5时，aⁿ是25的倍数，从而在式子上找到答案．