Question

如图，是反比例函数y=-

2

x

和y=-

8

x

在第二象限中的图象，A是反比例函数y=-

8

x

的图象上，且A点的横坐标为m（m＜0），AB．CD均平行于x轴，AC平行于y轴．   
（1）用m表示A、B、C、D的坐标； 
（2）求证：梯形ABCD的面积是定值； 
（3）若△ABC和△ACD相似，求m的值．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）根据点A与B、C与D的纵坐标相等以及反比例函数图象上点的坐标特征进行解答；
（2）根据点A、B、C、D的坐标求得相关线段的长度，利用梯形的面积公式进行解答；
（3）需要分类讨论：△ABC∽△CDA，△ABC∽△CDA，由相似三角形的对应边成比例来求m的值．

解答：解：（1）∵A点的横坐标为m（m＜0），且点A在反比例函数y=-

8

x

的图象上，
∴y=-

8

m

，
即A（m，-

8

m

）．
∵AB∥x轴，
∴点B的纵坐标为-

8

m

，点C的横坐标为m，
∴-

8

m

=-

2

x

，y=-

2

m

，
解得：x=

m

4

，
∴点B（

m

4

，-

8

m

），点C（m，-

2

m

），
∴点D的纵坐标为：-

2

m

，
∴-

2

m

=-

8

x

，
解得：x=4m，
∴点D的坐标为：（4m，-

2

m

）；

（2）证明：∵AB=

m

4

-m=-

3

4

m，CD=m-4m=-3m，AC=-

8

m

-（-

2

m

）=-

6

m

，
∴S_梯形ABCD=

1

2

（AB+CD）•AC=

1

2

×（-

3

4

m-3m）×（-

6

m

）=

45

4

；
∴梯形ABCD的面积是定值；

（3）∵∠BAC=∠ACD=90°，
①当

AB

AC

=

AC

CD

时，△ABC∽△CAD，
∴

- 3 4 m

- 6 m

=

- 6 m

-3m

，
解得：m=±2，
∵m＜0，
∴m=-2，
②当

AB

CD

=

AC

AC

，即AB=CD时，△ABC∽△CDA，
∴-

3

4

m=-3m，
此时无解．
∴若△ABC和△ACD相似，则m=-2．

点评：此题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质、梯形的性质以及相似三角形的判定与性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．