题目内容
18．
已知在Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，D为边AB的中点，∠EDF=90°，∠EDF绕点D旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于点E、F．（1）当∠EDF绕点D旋转到DE⊥AC于点E时（如图（1）），易证S△DEF+S△CEF=$\frac{1}{2}$S△ABC．
（2）当∠EDF绕点D旋转到DE和AC不垂直时，在图（2）和图（3）这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予说明；若不成立，S△DEF、S△CEF、S△ABC又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需说明．
分析 （1）先证明△CDE≌△BDF，即可得出结论；
（2）不成立；同（1）得：△DEC≌△DBF，得出S△DEF=S五边形DBFEC=S△CFE+S△DBC=S△CFE+$\frac{1}{2}$S△ABC．
解答 解：（1）连接CD；如图2
所示：
∵AC=BC，∠ACB=90°，D为AB中点，
∴∠B=45°，∠DCE=$\frac{1}{2}$∠ACB=45°，CD⊥AB，CD=$\frac{1}{2}$AB=BD，
∴∠DCE=∠B，∠CDB=90°，
∵∠EDF=90°，
∴∠1=∠2，
在△CDE和△BDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{CD=BD}\\{∠DCE=∠B}\end{array}\right.$，
∴△CDE≌△BDF（ASA），
∴S△DEF+S△CEF=S△ADE+S△BDF=$\frac{1}{2}$S△ABC；
（2）上述结论不成立；S△DEF-S△CEF=$\frac{1}{2}$S△ABC；理由如下：
连接CD，如图3
所示：
同（1）得：△DEC≌△DBF，∠DCE=∠DBF=135°
∴S△DEF=S五边形DBFEC，
=S△CFE+S△DBC，
=S△CFE+$\frac{1}{2}$S△ABC，
∴S△DEF-S△CFE=$\frac{1}{2}$S△ABC．
∴S△DEF、S△CEF、S△ABC的关系是：S△DEF-S△CEF=$\frac{1}{2}$S△ABC．
点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、图形面积的求法；证明三角形全等是解决问题的关键．
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