Question

9．已知抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+x+m与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．
（1）求m的取值范围；
（2）当AB=4时，在该抛物线上是否存在点P，使得△ABP的面积是△ABC的面积的2倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由于抛物线与x轴交于两点，所以△＞0，解不等式后即可求出m的范围；
（2）由于AB=4，所以利用根与系数的关系求出m的具体值，然后利用解析式将C三点求出，求出△ABC的面积后，利用△ABP的面积是△ABC的面积的2倍列式即可求出P的坐标．

解答 解：（1）△=1-4×$\frac{1}{2}$m=1-2m＜0，
∴m＞$\frac{1}{2}$，
（2）设A（a，0），B（b，0），
∵AB=4，
∴（a-b）²=4²，
令y=0代入y=$\frac{1}{2}$x²+x+m，
∴a与b是方程$\frac{1}{2}$x²+x+m=0的两个根，
∴a+b=-2，ab=2m，
∴（a-b）²=a²-2ab+b²=（a+b）²-4ab=4-8m=16，
∴m=-$\frac{3}{2}$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x²+x-$\frac{3}{2}$，
∴令x=0代入y=$\frac{1}{2}$x²+x-$\frac{3}{2}$，
∴解得：y=-$\frac{3}{2}$
∴OC=$\frac{3}{2}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•OC=3，
设点P（x，$\frac{1}{2}$x²+x-$\frac{3}{2}$），
过点P作PD⊥x轴于点D，
∴PD=|$\frac{1}{2}$x²+x-$\frac{3}{2}$|，
∵△ABP的面积是△ABC的面积的2倍
∴$\frac{1}{2}$AB•PD=2S_△ABC=6，
∴2PD=6，
∴|$\frac{1}{2}$x²+x-$\frac{3}{2}$|=3，
∴$\frac{1}{2}$x²+x-$\frac{3}{2}$=3或$\frac{1}{2}$x²+x-$\frac{3}{2}$=-3，
当$\frac{1}{2}$x²+x-$\frac{3}{2}$=3时，
解得：x=-1±$\sqrt{10}$，
当$\frac{1}{2}$x²+x-$\frac{3}{2}$=-3时，
此时△＜0，
综上所述：P的坐标为（-1±$\sqrt{10}$，3）．

点评 本题考查二次函数的综合问题，涉及根与系数的关系，待定系数法求解析式，解方程等知识，综合程度较高．