Question

1．等边三角形ABC的顶点都在圆O上，BD为直径，则∠BDC=60°，∠ACD=30°，若CD=6cm，则△ABC的面积等于27$\sqrt{3}$cm²．

Answer 1

分析 如图，连接CD．由圆周角定理得到∠BDC=∠A，∠ACD=$\frac{1}{2}$∠ABC，结合等边三角形的性质得到相关角的度数即可．通过含30度角的直角三角形的性质和勾股定理来求BC的长度，从而得到△ABC的面积．

解答 解：如图，连接CD．
∵在等边△ABC中，∠A=∠ABC=60°，
∴∠BDC=∠A=60°
∵点O是等边△ABC的外接圆圆心，
∴BD是∠ABC的平分线．
∴∠ACD=∠ABD=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°．
∵BD是直径，
∴∠BCD=90°．
又∵∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°，CD=6cm，
∴BD=2CD=12cm．
则由勾股定理得：BC=$\sqrt{B{D}^{2}-C{D}^{2}}$=6$\sqrt{3}$cm．
∴△ABC的面积=$\frac{1}{2}$BC•ABsin60°=$\frac{1}{2}$×6$\sqrt{3}$×6$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=27$\sqrt{3}$（cm²）．
故答案是：60°；30°；27$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了圆周角定理和等边三角形的性质．解题时，主要挖掘出隐含在题中的已知条件．BD是∠ABC的平分线．