Question

11．已知：Rt△ABC和Rt△DBE，AB=BC，DB=EB，D在AB上，连接AE，AC，如图1，延长CD交AE于K

（1）求证：AE=CD，AE⊥CD．
（2）类比：如图2所示，将（1）中的Rt△DBE绕点B逆时针旋转一个锐角，问（1）中线段AE，CD之间数量关系和位置关系还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展：在图2中，将“AB=BC，DB=EB”改为“AB=kBC，DB=kEB，k＞1”其它条件均不变，如图3所示，问（1）中线段AE，CD间的数量关系和位置关系怎样？请直接写出线段AE，CD间的数量关系和位置关系．

Answer 1

分析 （1）延长CD交AE于K，通过△AEB≌△CDB（SAS）得到AE=CD，∠EAB=∠DCB，根据垂直的定义即可得到结果；
（2）根据∠DBE=∠ABC=90°，得出∠ABE=∠DBC，再证出△AEB≌△CDB，AE=CD，∠EAB=∠DCB，再根据∠DCB+∠COB=90°，∠AOK=∠COB，得出∠KOA+∠KAO=90°，∠AKC=90°，即可证出AE⊥CD；
（3）根据BC=kAB，DB=kEB，得出$\frac{BE}{AB}$=$\frac{BD}{BC}$，根据∠DBE=∠ABC=90°，∠ABE=∠DBC，得出△AEB∽△CDB，$\frac{AE}{CD}$=$\frac{AB}{BC}$=$\frac{1}{k}$，∠EAB=∠DCB，AE=$\frac{1}{k}$CD，再根据k＞1，得出AE≠CD，最后根据∠DCB+∠COB=90°，∠AOK=∠COB，得出∠KAO+∠AOK=90°，∠AKC=90°，即可证出AE⊥CD．

解答 证明：（1）延长CD交AE于K．
在△AEB和△CDB中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠CBD=∠CBD=90°}\\{AB=BC}\\{BE=DB}\end{array}\right.$
∴△AEB≌△CDB（SAS），
∴AE=CD，
∠EAB=∠DCB，
∵∠DCB+∠CDB=90°，
∠ADK=∠CDB，
∴∠ADK+∠DAK=90°，
∴∠AKD=90°，
∴AE⊥CD；


（2）AE=CD，AE⊥CD，
∵∠DBE=∠ABC=90°，
∴∠ABE=∠DBC，
在△AEB和△CDB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABE=∠DBC}\\{BE=BD}\end{array}\right.$
∴△AEB≌△CDB，
∴AE=CD，∠EAB=∠DCB，
∵∠DCB+∠COB=90°，∠AOK=∠COB，
∴∠KOA+∠KAO=90°，
∴∠AKC=90°，
∴AE⊥CD；

（3）AE=$\frac{1}{k}$CD，AE⊥CD，
∵BC=kAB，DB=kEB，
∴$\frac{AB}{BC}$=$\frac{BE}{BC}$=$\frac{1}{k}$，
∴$\frac{BE}{BC}$=$\frac{BD}{BC}$，
∵∠DBE=∠ABC=90°，
∴∠ABE=∠DBC，
∴△AEB∽△CDB，
∴$\frac{AE}{CD}$=$\frac{AB}{BC}$=$\frac{1}{k}$，∠EAB=∠DCB，
∴AE=$\frac{1}{k}$CD，
∵k＞1，
∴AE≠CD，
∵∠DCB+∠COB=90°，∠AOK=∠COB，
∴∠KAO+∠AOK=90°，
∴∠AKC=90°，
∴AE⊥CD．

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质，用到的知识点是相似三角形、全等三角形的判定与性质，关键是能在较复杂的图形中找出相似和全等的三角形．