Question

如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠1=∠C，
求证：CB∥PD．

Answer 1

考点：圆周角定理,圆心角、弧、弦的关系,解直角三角形

专题：证明题

分析：（1）根据圆周角定理得∠C=∠P，而∠1=∠C，则∠1=∠P，于是可判断CB∥PD；
（2）连接AC，根据圆周角定理的推论得∠ACB=90°，由CD⊥AB，根据垂径定理得弧BC=弧BD，则∠P=∠CAB，sin∠P=

3

5

，所以sin∠CAB=

3

5

，然后在Rt△ACB中，根据正弦的定义计算BC的长．

解答：（1）证明：∵∠1=∠C，∠C=∠P，
∴∠1=∠P，
∴CB∥PD；
（2）解：连接AC，
∵AB为⊙O的直径
∴∠ACB=90°，
又∵CD⊥AB，
∴弧BC=弧BD，
∴∠P=∠CAB，
∵sin∠P=

3

5

，
∴sin∠CAB=

3

5

，
在Rt△ACB中，sin∠CAB=

BC

AB

=

BC

5

=

3

5

，
∴BC=3．

点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理和锐角三角函数．