题目内容

在某河流的北岸有A、B两个村子，A村距河北岸的距离为1千米，B村距河北岸的距离为4千米，且两村相距5千米，B在A的右边，现以河北岸为x轴，A村在y轴正半轴上（单位：千米）．
（1）请建立平面直角坐标系，并描出A、B两村的位置，写出其坐标．
（2）近几年，由于乱砍滥伐，生态环境受到破坏，A、B两村面临缺水的危险．两村商议，共同在河北岸修一个水泵站，分别向两村各铺一条水管，要使所用水管最短，水泵站应修在什么位置在图中标出水泵站的位置，并求出所用水管的长度．

解：（1）如图，点A（0，1），点B（4，4）；

（2）找A关于x轴的对称点A′，连接A′B交x轴于点P，则P点即为水泵站的位置，

PA+PB=PA′+PB=A′B且最短（如图）．
过B、A′分别作x轴、y轴的垂线交于E，作AD⊥BE，垂足为D，则BD=3，
在Rt△ABD中，AD= $\text{[math]}$ =4，所以A点坐标为（0，1），B点坐标为（4，4），
A′点坐标为（0，-1），由A′E=4，BE=5，在Rt△A′BE中，A′B= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
故所用水管最短长度为 $\text{[math]}$ 千米．
分析：（1）根据题意建立坐标系解答；
（2）利用两点之间线段最短的数学道理作图即可．
点评：主要考查了直角坐标系的建立和运用以及作图求两点之间的最短距离，该题中还涉及到了勾股定理的运用．此类题型是个重点也是难点，需要掌握．