观察下列一组等式:$\root{3}{2\frac{2}{7}}$=2$\root{3}{\frac{2}{7}}$,$\root{3}{3\frac{3}{26}}$=3$\root{3}{\frac{3}{26}}$,$\root{3}{4\frac{4}{63}}$=4$\root{3}{\frac{4}{63}}$(1)你能用含有n的等式来表示你发现的规律吗?(2)用你发现� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

19．观察下列一组等式：$\root{3}{2\frac{2}{7}}$=2$\root{3}{\frac{2}{7}}$；$\root{3}{3\frac{3}{26}}$=3$\root{3}{\frac{3}{26}}$；$\root{3}{4\frac{4}{63}}$=4$\root{3}{\frac{4}{63}}$
（1）你能用含有n（n为整数，且n＞1）的等式来表示你发现的规律吗？
（2）用你发现的规律说明$\root{3}{2013\frac{2013}{201{3}^{3}-1}}$与2013$\root{3}{\frac{2013}{201{3}^{3}-1}}$的关系．

分析（1）根据已知得出分子与分母之间的关系进而得出答案；
（2）利用（1）中变换规律得出两式子的关系．

解答解：（1）∵$\root{3}{2\frac{2}{7}}$=2$\root{3}{\frac{2}{{2}^{3}-1}}$=2$\root{3}{\frac{2}{7}}$；$\root{3}{3\frac{3}{26}}$=3$\root{3}{\frac{3}{{3}^{3}-1}}$=3$\root{3}{\frac{3}{26}}$；$\root{3}{4\frac{4}{63}}$=4$\root{3}{\frac{4}{{4}^{3}-1}}$=4$\root{3}{\frac{4}{63}}$，
∴$\root{3}{n\frac{n}{{n}^{3}-1}}$=n$\root{3}{\frac{n}{{n}^{3}-1}}$；

（2）由（1）得：$\root{3}{2013\frac{2013}{201{3}^{3}-1}}$=2013$\root{3}{\frac{2013}{201{3}^{3}-1}}$，
故$\root{3}{2013\frac{2013}{201{3}^{3}-1}}$与2013$\root{3}{\frac{2013}{201{3}^{3}-1}}$相等．

点评此题主要考查了立方根以及数字变化规律，得出分子与分母之间的关系是解题关键．