Question

在等腰直角△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，把△ABC进行折叠，使点B落在直线AC上距点C为2的点B′处，折痕分别交BC，AC，AB于点H、P、Q，则HP：HQ=

 

．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）

专题：

分析：在解答时分为两种情况：①当B'在AC的延长线上时，如图1，连结B'H，作MH⊥BC交AB于M．②当点B'在线段AC上时，如图2，连结B'H，作QM⊥BC于M，根据轴对称的性质就可以得出HB=HB′，在Rt△B′CH中，由勾股定理就可以求出BH，CH，由∠CPH=∠CBB'就可以得出

CH

CP

=

2

4

．根据平行线的性质就可以求出结论．

解答：解：①当B'在AC的延长线上时，如图1，连结B'H，作MH⊥BC交AB于M．
∴∠MHB=90°．
∵∠C=90°，AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA=45°，∠MHB=∠ACB．
∴∠HMB=45°．
∴∠HMB=∠CBA，
∴HM=HB．
∵△HLB′和△HLB关于HL对称，
∴BH=B'H，
∴BH=MH=B'H．
设BH=MH=B'H=x，则CH=4-x，在RT△HCB'中，
2²+（4-x）²=x²
∴x=

5

2

，CH=

3

2

，
∵∠CPH=∠CBB'，∠PCH=∠BCB′=90°
∴tan∠CPH=

CH

PC

=tan∠CBB′=

CB′

CB

∴

CH

CP

=

2

4

．
∴CP=2CH=3
∴AP=1．
∵∠ACB=∠MHB
∴AB∥MH
∴

QP

QH

=

AP

MH

=

2

5

．
设QP=2a，QH=5a，则PH=3a，
∴

HP

HQ

=

3a

5a

=

3

5

②当点B'在线段AC上时，如图2，
连结B'H，作QM⊥BC于M
∵B'，B关于HQ对称
∴HB'=HB
在RT△B'CH中，CB'=2，B'H=BH=x，CH=4-x
由勾股定理得，
2²+（4-x）²=x²
解得：x=

5

2

，
∴CH=

3

2

∵AC=BC，∠ACB=90°，QM⊥BC
∴QM=BM
∵∠HQM=∠B′BC
∴

HM

QM

=

B′C

BC

=

2

4

∴BM=QM=2HM
∴HM=

1

3

HB=

5

6

∵∠PCH=∠HMQ=90°
∴PC∥MQ
∴

HP

HQ

=

CH

HM

=

3 2

5 6

=

9

5

，
综上所述，∴

HP

HQ

=

3

5

或

9

5

．
故答案为：

3

5

或

9

5

．

点评：本题考查了轴对称的性质的运用，勾股定理的性质的运用，直角三角形的正切值的运用，相似三角形的性质的运用，分类讨论思想的运用，解答时运用轴对称的性质求解是关键．