Question

已知x和y是正整数，且满足条件xy＋x＋y＝71，x²y＋xy²＝880，求x²＋y²的值．

Answer 1

答案：
解析：

　　解：设a＝x＋y，b＝xy，于是

　　a＋b＝71，ab＝880，

　　构造以a、^b为二根的一元二次方程

　　t²－71t＋880＝0，

　　解得t=16或t=55，

　　∴a＝16，b＝55或a＝55，b＝16，

　　即x＋y＝16，xy＝55或x＋y＝55，x·y＝16，

　　于是x、y为一元二次方程

　　m²－16m＋55＝0①或n²－55n＋16＝0②的两个正整数根，

　　解①得m＝5或m＝11，

　　即x＝5，y＝11或x＝11，y＝5

　　方程②无整数解．

　　∴x²＋y²＝5²(或11²)＋11²(或5²)＝146．

　　分析：直接不易求出x、y的值．但经观察发现已知二等式分别为xy与x＋y的和，xy与x＋y的积，先换元构造一元二次方程，整体求得x＋y、xy，再构造以x、y为根的一元二次方程，解出x、y，问题便可获解．

　　点评：巧妙换元，创造了构造一元二次方程的条件，为解题打开了方便之门．