Question

如图，直角梯形纸片ABCD，AD⊥AB，AB=8，AD=CD=4，点E、F分别在线段AB、AD上，将△AEF沿EF翻折，点 A的落点记为P．
（1）当AE=5，P落在线段CD上时，PD=（    ）；
（2）当P落在直角梯形ABCD内部时，PD的最小值等于（    ）

Answer 1

解：（1）过P作PG⊥AB于G，则四边形DAGP是矩形，PG=DA=4，
∵PE=AE=5，
∴GE=
∴PD=AG=AE-GE=5-3=2；
（2）连接ED，作P₁P⊥ED于P，那么在Rt△P₁PD中，P₁D＞PD，
故当点A的对称点P落在线段ED上时，PD有最小值，（左图）
而E在线段AB上，故当E与B重合时，即EP=BP，此时PD取最小值．（右图）
此时，AB=BP=8，
又 BD== ，
∴PD=BD-BP= -8．

（1）作CS⊥AB于点S，EG⊥DC，交于DC延长线于点G，利用矩形的性质有AD=CS=GE=4，CD=AS=4，结合Rt△PGE，由折叠的性质知PE=AE=5，由勾股定理得出相关的线段的长度，即可求得DP的长；
（2）当点P落在梯形的内部时，∠P=∠A=90°，四边形PFAE是以EF为直径的圆内接四边形，只有当直径EF最大时，且点A落在BD上时，PD最小，此时E与点B重合，由勾股定理得BD的长，从而求得PD= -8．