题目内容
（2012•江岸区模拟）如图1，抛物线y=
（x-m）2的顶点A在x轴正半轴，与y轴相交于点B，B（0，1），连接AB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，P为AB延长线上一点，PH⊥x轴于H，将△PAH沿直线AB翻折得到△PQA，QA交y轴于点C，若点Q恰好在抛物线上，求Q点坐标；
（3）如图3，将图1中的抛物线沿对称轴向下平移n个长度单位，新抛物线的顶点为P，它与直线AB相交于M、N两点，连接PM、PN．探究：当n取何值时，∠MPN=90°．
| 1 | 4 |
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，P为AB延长线上一点，PH⊥x轴于H，将△PAH沿直线AB翻折得到△PQA，QA交y轴于点C，若点Q恰好在抛物线上，求Q点坐标；
（3）如图3，将图1中的抛物线沿对称轴向下平移n个长度单位，新抛物线的顶点为P，它与直线AB相交于M、N两点，连接PM、PN．探究：当n取何值时，∠MPN=90°．
分析：（1）把点B的坐标代入抛物线解析式求出m，再根据顶点A在x轴正半轴确定m的值，然后写出抛物线即可；
（2）连接HQ交AP于R，过点Q作QD⊥x轴于D，根据点A、B的坐标求出OA、OB，再利用勾股定理列式求出AB的长，根据同角的余角相等求出∠DQH=∠HAR，设DH=a，然后表示出DQ，利用勾股定理列式求出QH，根据翻折的性质可得RH=
QH，再表示出AH，然后求出OD，从而得到点D的横坐标，再根据点Q在抛物线上列出方程求解即可；
（3）过点P作x轴的平行线l，过点M作ME⊥l于E，过点N作NF⊥l于F，然后求出△MEP和△PFN相似，利用相似三角形对应边成比例列式表示出点M、N的横坐标与纵坐标的关系，再联立平移后的抛物线与直线的解析式并整理得到点M、N的横坐标与纵坐标的关系，然后代入得到关于n的一元二次方程，求解即可．
（2）连接HQ交AP于R，过点Q作QD⊥x轴于D，根据点A、B的坐标求出OA、OB，再利用勾股定理列式求出AB的长，根据同角的余角相等求出∠DQH=∠HAR，设DH=a，然后表示出DQ，利用勾股定理列式求出QH，根据翻折的性质可得RH=
| 1 |
| 2 |
（3）过点P作x轴的平行线l，过点M作ME⊥l于E，过点N作NF⊥l于F，然后求出△MEP和△PFN相似，利用相似三角形对应边成比例列式表示出点M、N的横坐标与纵坐标的关系，再联立平移后的抛物线与直线的解析式并整理得到点M、N的横坐标与纵坐标的关系，然后代入得到关于n的一元二次方程，求解即可．
解答：解：（1）∵抛物线y=
（x-m）2经过点B（0，1），
∴
（0-m）2=1，
解得m=±2，
∵顶点A在x轴正半轴，
∴m=2，
∴抛物线的解析式为y=
（x-2）2；
（2）如图2，连接HQ交AP于R，过点Q作QD⊥x轴于D，
∵点A（2，0），B（0，1），
∴OA=2，OB=1，
∴AB=
=
，
由翻折的性质得，AP⊥QH，
∴∠HAR+∠QHD=90°，
∵∠DQH+∠QHD=90°，
∴∠DQH=∠HAR，
设DH=a，则DQ=DH÷tan∠DQH=2a，
由勾股定理得，QH=
=
a，
∴RH=
QH=
a，
AH=RH÷sin∠BAO=
a÷
=
a，
∴OD=
a-a-2=
a-2，
∴点Q的横坐标为2-
a，
∵点Q在抛物线上，
∴
（2-
a-2）2=2a，
解得a1=0（舍去），a2=
，
∴2-
×
=-
，
∴点Q的坐标为（-
，
）；
（3）如图3，过点P作x轴的平行线l，过点M作ME⊥l于E，过点N作NF⊥l于F，
∵∠MPN=90°，
∴∠MPE+∠NPF=180°-90°=90°，
∵∠MPE+∠PME=180°-90°=90°，
∴∠NPF=∠PME，
又∵∠MEP=∠PFN=90°，
∴△MEP∽△PFN，
∴
=
，
即
=
，
∴xM•xN-2（xM+xN）+4+yM•yN+n（yM+yN）+n2=0，
∵抛物线向下平移n个单位，
∴平移后的抛物线为y=
（x-2）2-n，
易求直线AB的解析式为y=-
x+1，
联立
，
消掉y得，x2-2x-4n=0，
∴xM+xN=-
=-
=2，xM•xN=
=
=-4n，
yM+yN=-
xM+1-
xN+1=-
（xM+xN）+2=-
×2+2=1，
yM•yN=（-
xM+1）×（-
xN+1）=
xM•xN-
（xM+xN）+1=
×（-4n）-
×2+1=-n，
∴-4n-2×2+4+（-n）+n×1+n2=0，
整理得，n2-4n=0，
解得n1=4，n2=0（舍去），
∴当n=4时，∠MPN=90°．
| 1 |
| 4 |
∴
| 1 |
| 4 |
解得m=±2，
∵顶点A在x轴正半轴，
∴m=2，
∴抛物线的解析式为y=
| 1 |
| 4 |
（2）如图2，连接HQ交AP于R，过点Q作QD⊥x轴于D，
∵点A（2，0），B（0，1），
∴OA=2，OB=1，
∴AB=
| 22+12 |
| 5 |
由翻折的性质得，AP⊥QH，
∴∠HAR+∠QHD=90°，
∵∠DQH+∠QHD=90°，
∴∠DQH=∠HAR，
设DH=a，则DQ=DH÷tan∠DQH=2a，
由勾股定理得，QH=
| a2+(2a)2 |
| 5 |
∴RH=
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
AH=RH÷sin∠BAO=
| ||
| 2 |
| 1 | ||
|
| 5 |
| 2 |
∴OD=
| 5 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
∴点Q的横坐标为2-
| 3 |
| 2 |
∵点Q在抛物线上，
∴
| 1 |
| 4 |
| 3 |
| 2 |
解得a1=0（舍去），a2=
| 32 |
| 9 |
∴2-
| 3 |
| 2 |
| 32 |
| 9 |
| 10 |
| 3 |
∴点Q的坐标为（-
| 10 |
| 3 |
| 64 |
| 9 |
（3）如图3，过点P作x轴的平行线l，过点M作ME⊥l于E，过点N作NF⊥l于F，
∵∠MPN=90°，
∴∠MPE+∠NPF=180°-90°=90°，
∵∠MPE+∠PME=180°-90°=90°，
∴∠NPF=∠PME，
又∵∠MEP=∠PFN=90°，
∴△MEP∽△PFN，
∴
| ME |
| PF |
| PE |
| NF |
即
| yM+n |
| xN-2 |
| 2-xM |
| yN+n |
∴xM•xN-2（xM+xN）+4+yM•yN+n（yM+yN）+n2=0，
∵抛物线向下平移n个单位，
∴平移后的抛物线为y=
| 1 |
| 4 |
易求直线AB的解析式为y=-
| 1 |
| 2 |
联立
|
消掉y得，x2-2x-4n=0，
∴xM+xN=-
| b |
| a |
| -2 |
| 1 |
| c |
| a |
| -4n |
| 1 |
yM+yN=-
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
yM•yN=（-
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
∴-4n-2×2+4+（-n）+n×1+n2=0，
整理得，n2-4n=0，
解得n1=4，n2=0（舍去），
∴当n=4时，∠MPN=90°．
点评：本题是对二次函数的综合考查，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，翻折变换的性质，勾股定理的应用，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，根与系数的关系，难点在于作辅助线．
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