Question

已知：如图，矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线EF与AD、AC、BC分别交于点E、O、F．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）若AB=5，BC=12，EF=6，求菱形AFCE的面积．

Answer 1

分析：（1）根据ABCD为矩形，根据矩形的对边平行得到AE与CF平行，由两直线平行得到一对内错角相等，又EF垂直平分AC，根据垂直平分线的定义得到AO=CO，且AC与EF垂直，再加上一对对顶角相等，利用“ASA”得到三角形AOE与三角形COF全等，根据全等三角形的对应边相等得到AE=FC，由一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得到AFCE为平行四边形，又根据对角线垂直的平行四边形为菱形即可得证；
（2）由矩形的性质得到∠B为直角，在直角三角形ABC中，由AB与BC的长，利用勾股定理求出AC的长，又已知EF的长，而AC与EF为菱形AFCE的两条对角线，根据对角线乘积的一半即可求出菱形的面积．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AE∥FC，
∴∠EAO=∠FCO，
∵EF垂直平分AC，
∴AO=CO，FE⊥AC，
又∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF，
∴EO=FO，
∴四边形AFCE为平行四边形，
又∵FE⊥AC，
∴平行四边形AFCE为菱形；

（2）在Rt△ABC中，由AB=5，BC=12，
根据勾股定理得：AC=

AB2+BC2

=

52+122

=13，又EF=6，
∴菱形AFCE的面积S=

1

2

AC•EF=

1

2

×13×6=39．

点评：此题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，以及勾股定理．其中矩形的性质有对边平行且相等，四个角都为直角，对角线互相平行且相等；菱形的性质有四条边相等，对角线互相平分且垂直，一条对角线平分一组对角；菱形的判定方法一般有：四条边相等的四边形为菱形，对角线互相垂直的平行四边形为菱形，邻边相等的平行四边形为菱形等，熟练掌握这些判定与性质是解本题的关键．同时注意菱形的面积可以利用对角线乘积的一半来求．