Question

19．如图，以y轴为对称轴的抛物线与坐标轴分别交于点A（0，9），点B（-6，0），D、E分别是线段OB、OA上的动点，抛物线上的点C满足CD=CE=DE，若点C的横坐标为-2$\sqrt{5}$．
（1）求抛物线的函数表达式和点C的纵坐标；
（2）如果△CDE的外心为P，连结CP并延长交DE于点F．
①求$\frac{PF}{OF}$的值；
②求OP的长．

Answer 1

分析 （1）先设出抛物线解析式，再代值即可得出抛物线解析式；
（2）②先判断出点P既是等边三角形CDE的外心，也是它重心，也是内心，即可得出PF=$\frac{1}{3}$CF，再用直角三角形的性质和勾股定理得出OF=EF，CF=$\sqrt{3}$EF，即可得出结论；
②先求出OC，再用①中得出的线段得出$\frac{OF}{CF}=\frac{EF}{CF}=\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{PF}{OF}$，判断出△OFP∽△CFO即可求出OP的值．

解答 解：（1）∵以y轴为对称轴的抛物线与坐标轴分别交于点A（0，9），
∴设抛物线的函数表达式为y=ax²+9，
∵抛物线经过点B（-6，0），
∴0=36a+9，
∴a=-$\frac{1}{4}$，
∴抛物线的函数表达式为y=-$\frac{1}{4}$x²+9，
∵点C的横坐标为-2$\sqrt{5}$，
∴y=-$\frac{1}{4}$×（-2$\sqrt{5}$）²+9=4，
∴点C的纵坐标为4，
（2）①∵CD=CE=DE，
∴△CDE是等边三角形，
∵△CDE的外心为P，
∴点P既是等边三角形CDE的外心，也是它重心，也是内心，
∴∠ECF=$\frac{1}{2}$∠DCE=30°，CF⊥DE，EF=DF，PF=$\frac{1}{3}$CF，
在Rt△DOE中，OF=EF，
在Rt△CFE中，CF=$\sqrt{3}$EF，
∴PF=$\frac{1}{3}$CF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$EF，
∴$\frac{PF}{OF}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}EF}{EF}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
②如图，连接OC，

∴OC=$\sqrt{（-2\sqrt{5}）^{2}+{4}^{2}}$=6，
∵$\frac{OF}{CF}=\frac{EF}{CF}=\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{PF}{OF}$，而∠OFP=∠CFO，
∴△OFP∽△CFO，
∴$\frac{OP}{OC}=\frac{OF}{CF}$，
∴OP=$\frac{OF}{CF}×OC$=2$\sqrt{3}$．

点评 此题是二次函数的综合题，主要考查了等边三角形的性质，待定系数法，相似三角形的判定和性质，解本题的关键是正三角形的外心也是重心还是内心，也是解本题的难点．