Question

3．（1）如图1，已知O为AD上一点，∠AOC与∠AOB互补，OM、ON 分别为∠AOC与∠AOB的平分线，若∠MON=40°，试求∠AOC与∠AOB度数．
（2）已知如图2，∠AOB：∠BOC=3：2，OD是∠BOC的平分线，OE是∠AOC的平分线，且∠BOE=12°，求∠DOE的度数．

Answer 1

分析 （1）由角平分线定义和补角定义得出方程，解方程即可得出结果；
（2）设∠AOB=3x，∠BOC=2x．则∠AOC=∠AOB+∠BOC=5x．由角平分线定义和已知条件求出x=24°，即可得出所求角的度数．

解答 解：（1）设∠AOB=x，因为∠AOC与∠AOB互补，则∠AOC=180°-x．
由题意，得$\frac{1}{2}$（180°-x）-$\frac{1}{2}$x=40°．
解得：x=50°，
∴∠AOB=50°，∠AOC=130°．
（2）解：设∠AOB=3x，∠BOC=2x．
则∠AOC=∠AOB+∠BOC=5x．
∵OE是∠AOC的平分线，
∴∠AOE═$\frac{1}{2}∠AOC=\frac{5}{2}x$，
∴∠BOE=∠AOB-∠AOE=$3x-\frac{5}{2}x=\frac{1}{2}x$，
∵∠BOE=12°，
∴$\frac{1}{2}x=12°$，
解得：x=24°，
∵OD是∠BOC的平分线，
∴$∠BOD=\frac{1}{2}∠BOC=x=24°$，
∴∠DOE=∠DOB+∠BOE=24°+12°=36°．

点评 此题考查了补角的定义、角平分线的定义及角的运算．熟练掌握补角定义和角平分线定义，根据题意得出方程是解决问题的关键．