题目内容

14．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点A、B在x轴上，点D在y轴上，AB∥CD，直线BC表达式为y=-$\frac{4}{3}$x+16，点A、D的坐标分别为（-16，0）、（0，12），动点P从点A出发沿AB方向，动点Q从点B出发沿四边形ABCD边BC-CD-DA方向，同时开始运动，速度均为每秒1个单位．当P点到达B点时两个动点同时停止运动，设运动时间为t．
（1）当点Q从点B运动到点C过程中，设线段PQ的中点坐标为M．
①求点M坐标（用含t的代数式表示）；
②判断此时点M是否都在某一次函数图象上运动？若是，请求出此时的一次函数表达式；若不是，请说明理由．
③过点M作直线l⊥PQ．判断直线l是否经过某一定点？若是请求出此定点，若不是请说明理由．
（2）在整个运动过程中，以PQ为直线的圆能否相切于四边形ABCD边上一点，若能请求出满足条件的t值，若不能，请说明理由．

分析 （1）①直线BC表达式为y=-$\frac{4}{3}$x+16，当y=0时，0=-$\frac{4}{3}$x+16，解得x=12，可得B（12，0），当y=12时，12=-$\frac{4}{3}$x+16，解得x=3，可得C（3，12），得到P的坐标（-16+t，0），Q的坐标（12-0.6t，0.8t）（直线斜率为-$\frac{4}{3}$，运动速度为1，则Q在x轴方向向左移动0.6，向上移动0.8），由中点坐标公式得M的坐标；
②记M（x0，y0），x0=2+0.2t，y0=0.4t，得到y0=2x0+4，从而得到点M在某一次函数y=2x+4上；
③k1=$\frac{1.6t-28}{0.8t}$，l过点M（-2+0.2t，0.4t），用点斜式得$\frac{y-0.4t}{x+2-0.2t}$=$\frac{1.6t-28}{0.8t}$，得到y=$\frac{2t-35}{t}$x+11-$\frac{70}{t}$，
则x=-2时，y=7，可得l经过点（-2，7）；
（2）分四种情况：①点PQ⊥AB时；②BC⊥PQ（0≤t≤15）时；③PQ⊥CD（15＜t＜18）时；④PQ⊥DA（18≤t≤28）时．进行讨论可求t的值．

解答 解：（1）①∵直线BC表达式为y=-$\frac{4}{3}$x+16，
当y=0时，0=-$\frac{4}{3}$x+16，解得x=12，
∴B（12，0），
当y=12时，12=-$\frac{4}{3}$x+16，解得x=3，
∴C（3，12），
∵点A、D的坐标分别为（-16，0）、（0，12），AB＞BC，
∴P的坐标（-16+t，0），Q的坐标（12-0.6t，0.8t）（直线斜率为-$\frac{4}{3}$，运动速度为1，则Q在x轴方向向左移动0.6，向上移动0.8），
∴由中点坐标公式得M（-2+0.2t，0.4t）；
②是，记M（x0，y0），x0=2+0.2t，y0=0.4t，
∴y0=2x0+4，
∴点M在某一次函数y=2x+4上；
③k1=$\frac{1.6t-28}{0.8t}$，l过点M（-2+0.2t，0.4t），用点斜式得$\frac{y-0.4t}{x+2-0.2t}$=$\frac{1.6t-28}{0.8t}$，
整理得-0.8ty=（28-1.6t）x+56-8.8t，
y=$\frac{2t-35}{t}$x+11-$\frac{70}{t}$，
x=-2时，y=7，
∴l经过点（-2，7）；
（2）P的坐标（-16+t，0）（0≤t≤28）
Q的坐标（12-0.6t，0.8t）（0≤t≤15），（18-t，12）（15＜t＜18），（14.4-0.8t，-0.6t+2）（18≤t≤28），
①点PQ⊥AB时，P，Q横坐标相等，t=17；
②BC⊥PQ（0≤t≤15）时，kPQ=$\frac{3}{4}$，解得t=10.5；
③PQ⊥CD（15＜t＜18）时，P，Q横坐标相等，t=17与①重复；
④PQ⊥DA（18≤t≤28）时，kQP=-$\frac{4}{3}$，t=19．
综上所述，t为10.5，17，19时，以PQ为直径的圆相切于四边形ABCD边上一点．

点评 考查了一次函数综合题，涉及的知识点有：直线斜率，中点坐标公式，方程思想，分类思想的应用，综合性较强，有一定的难度．

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