Question

如图，抛物线y=

1

2

x²+2x-6的图象，与x轴交于A、B两点，点A在点B的左边，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点
（1）求△ABC的面积；
（2）点P是直线AC下方的抛物线上一动点．不与点A，C重合，求过P作x轴的垂线交于AC于点E，求线段PE的最大值及P点坐标；
（3）连接AD，在y轴上是否存在点M，使得△ADM为直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）易求得点A，B，C坐标，即可解题；
（2）易求得直线AC解析式，即可求得PE长度随横坐标x的变化的二次函数式，求得二次函数的最大值即可解题；
（3）存在3种情况：①∠ADM=90°，②∠DAM=90°，③∠AMD=90°，分类讨论即可求得M的值，即可解题．

解答：解：（1）∵

1

2

x²+2x-6=0时，
解得：x=2或-6，
当x=0时，y=-6，
∴△ABC的面积S=

1

2

AB•OC=24；

（2）∵直线AC经过点A，C，
设直线AC解析式为y=kx+b，代入A，C点，
解得：直线AC解析式为y=-x-6，
∵点P是直线AC下方的抛物线上一动点，
设点P（x，y），
则PE=-x-6-（

1

2

x²+2x-6）=-

1

2

x²-3x；
∴当x=-

-3

2×(- 1 2 )

=-3时，线段PE有最大值为

9

2

，
此时点P点坐标为（-3，-

15

2

）；

（3）存在点M，存在3种情况：
①∠ADM=90°，∵点D坐标为（-2，-8），点A坐标为（-6，0），
设直线AD为y=kx+b，代入A，D点得：k=-2，
∵AD⊥DM，
∴直线DM解析式为y=-

1

k

x+t=y=

1

2

x+t，
代入点D坐标得：y=

1

2

x-7，
∴点M坐标为（0，-7）；
②∠DAM=90°，∵点D坐标为（-2，-8），点A坐标为（-6，0），
设直线AD为y=kx+b，代入A，D点得：k=-2，
∵AD⊥DM，
∴直线DM解析式为y=-

1

k

x+t=y=

1

2

x+t，
代入点D坐标得：y=

1

2

x+3，
∴点M坐标为（0，3）；
③∠AMD=90°，∵点D坐标为（-2，-8），点A坐标为（-6，0），
设点M坐标为（0，y），
则

y+8

2

•

y

6

=-1，
解得：y=-4±4

7

，
∵y＜0，
∴y=-4-4

7

，
∴存在点M，坐标为（0，3）（0，-7）（0，-4-4

7

）时，可使得△ADM为直角三角形．

点评：本题考查了二次函数解析式的求解，考查了二次函数顶点的求解，考查了一次函数解析式的求解，本题中正确求得二次函数解析式是解题的关键．