题目内容

已知：□ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F(如图)．

求证：四边形AFCE是菱形．

答案：
解析：

　　证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

　　∴AE∥FC．

　　∴∠1＝∠2．

　　又∠AOE＝∠COF，

　　AO＝CO，

　　∴△AOE≌△COF．

　　∴EO＝FO．

　　∴四边形AFCE是平行四边形．

　　又EF⊥AC，

　　∴□AFCE是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形)．


练习册系列答案
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11、已知四边形ABCD的四边分别有a，b，c，d．其中a，c是对边且a2+b2+c2+d2=2ac+2bd，则四边形是（　　）
（2011•路北区一模）已知正方形ABCD的边长为4，E是CD上一个动点，以CE为一条直角边作等腰直角三角形CEF，连接BF、BD、FD．
（1）BD与CF的位置关系是
平行
平行
．
（2）①如图，当CE=4（即点E与点D重合）时，△BDF的面积为
8
8
．
②如图，当CE=2（即点E为CD中点）时，△BDF的面积为
8
8
．
③如图，当CE=3时，△BDF的面积为
8
8
．
（3）如图，根据上述计算的结果，当E是CD上任意一点时，请提出你对△BDF面积与正方形ABCD的面积之间关系的猜想，并证明你的猜想．
（1997•河北）命题：如图1，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，过点A作AG⊥EB，垂足为G，AG交BD于点F，则OE=OF．
对上述命题证明如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BOE=∠AOF=90°，BO=AO．
又∵AG⊥EB，
∴∠1+∠3=90°=∠2+∠3．
∴∠1=∠2
∴Rt△BOE≌Rt△AOF．
∴OE=OF
问题：对上述命题，若点E在AC的延长线上，AG⊥EB，交EB的延长线于点G，AG的延长线交DB的延长线于点F，其它条件不变（如图2），则结论“OE=OF”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明现由．
（2009•保定一模）已知正方形ABCD的边长为4，E是边CD上的一个动点，以CE为一条直角边作等腰直角三角形CEF，连接BF、FD、BD，则BD与CF的位置关系式
BD∥CF
BD∥CF
．
（1）如图1，当CE=4（即点E与点D重合）时，△BDF的面积为
8
8
；
（2）如图2，当CE=2（即点E为CD的中点）时，△BDF的面积为
8
8
；
（3）如图3，当CE=3时，△BDF的面积为
8
8
．

（4）如图4，根据上述计算结果，当E是CD边上任意一点时，请提出你对△BDF面积与正方形ABCD的面积之间关系的猜想；并证明你的猜想．
（5）如图5，若E是CD延长线上任意一点时，请你判断（4）中的结论是否仍然成立．
已知四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，下列条件中能够判断有一组对边平行的是（　　）

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