Question

矩形OABC的顶点A(-8，0)、C(0，6) ，点D是BC边上的中点，抛物线经过A、D两点，如图所示．
【小题1】求点D关于y轴的对称点的坐标及a、b的值；
【小题2】在y轴上取一点P, 使PA+PD长度最短, 求点P的坐标；
【小题3】将抛物线向下平移,记平移后点A的对应点为，点D的对应点为，当抛物线平移到某个位置时，恰好使得点O是y轴上到两点距离之和最短的一点，求此抛物线的解析式．

Answer 1

【小题1】（1）由矩形的性质可知：B（-8，6）
∴D（-4，6）； 点D关于y轴对称点D′（4，6）
将A（-8，0）、D（-4，6）代入，得：
；     
【小题2】设直线AD′的解析式为，则：
∴     解得：      
∴直线与y轴交于点（0，4），所以点P（0，4）
【小题3】解法1：由于OP＝4，故将抛物线向下平移4个单位时，有OA₁+OD₁最短；
∴  ，即此时的解析式为；
解法2：设抛物线向下平移了m个单位，则A₁（-8，-m），D₁（-4，6-m），
∴
令直线为；

∵点O为使OA₁+OD₁最短的点，∴  ∴m=4，
即将抛物线向下平移了4个单位；
∴ ，即此时的解析式为.

解析