Question

4．已知，矩形ABCD中，AB=6，BC=4．
（1）如图1，点O在线段AB上，P在线段CD上，OP∥BC，tan∠AOD=2，求证：四边形OBCP是正方形；
（2）如图2，点M在线段BC上，连接AM，作∠AMN=∠AMB，点N在射线AD上，MN交CD于点E，请问：BM•AN的值能否等于27？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）直接利用锐角三角函数关系得出AO的长，再利用正方形的判定方法进而得出答案；
（2）直接得出△NAH∽△AMB，则$\frac{AN}{AM}$=$\frac{AH}{BM}$，得出AM²=AB²+BM²=36+BM²，即可得出答案．

解答 （1）证明：如图1，∵tan∠AOD=2，
∴tan∠AOD=$\frac{AD}{AO}$=2，
∵BC=4，
∴AO=2，
∴BO=4，
∴BO=BC=PC=OP=4，
又∵∠B=90°，
∴四边形OBCP是正方形；

（2）解：如图2，作NH⊥AM于H，
∵AN=MN，NH⊥AM，
∴AH=$\frac{1}{2}$AM，
∵∠NHA=∠ABM=90°，∠AMN=∠AMB，
∴△NAH∽△AMB，
∴$\frac{AN}{AM}$=$\frac{AH}{BM}$，
∴AN•BM=AH•AM=$\frac{1}{2}$AM²，
在Rt△AMB中，AM²=AB²+BM²=36+BM²，
∵BM≤4，
∴36+BM²≤52，
∴AN•BM≤26，故BM•AN的值不等于27．

点评 此题主要考查了正方形的判定方法以及相似三角形的判定与性质，正确得出AM²=AB²+BM²=36+BM²是解题关键．