Question

17．如图，在等腰三角形ABC中，AD⊥BC于点D，AD=3，DC=4，点M在线段AC上运动，ME⊥AD于点E，连结BE并延长交AC于点F，连结BM．设$\frac{CM}{AC}$=m（0＜m＜1），△BEM的面积为S．
（1）当m=$\frac{1}{3}$时，求$\frac{{{S_{△ABE}}}}{{{S_{△BME}}}}$的值．
（2）求S关于m（0＜m＜1）的函数解析式并求出S的最大值．
（3）设$\frac{AF}{FM}$=k，猜想k与m的数量关系并证明．

Answer 1

分析 （1）先证明△AEM∽△ADC，进而得到AE：AD=EM：DC=AM：AC=2：3，设AE=2a，则AD=3a，EM=2b，则DC=3b，即可求$\frac{{{S_{△ABE}}}}{{{S_{△BME}}}}$的值；
（2）根据△AEM∽△ADC得到$\frac{AE}{AD}=\frac{EM}{DC}=\frac{AM}{AC}=\frac{1-m}{1}$，即AE=3-3m，DE=3m，EM=4-4m，据此写出S关于m的二次函数，结合二次函数的性质求出最值；
（3）根据三角形的面积与边长之间的关系求出k和m的数量关系．

解答 解：（1）∵ME⊥AD，AD⊥BC，
∴△AEM∽△ADC，
∴$\frac{AE}{AD}=\frac{EM}{DC}=\frac{AM}{AC}=\frac{1-m}{1}=\frac{2}{3}$，
设AE=2a，则AD=3a．EM=2b，则DC=3b，
∴$\frac{{{S_{△ABE}}}}{{{S_{△BME}}}}=\frac{{2a×3b×\frac{1}{2}}}{{2b×a×\frac{1}{2}}}=3$；

（2）∵△AEM∽△ADC，
∴$\frac{AE}{AD}=\frac{EM}{DC}=\frac{AM}{AC}=\frac{1-m}{1}$，
∴AE=3-3m，DE=3m，EM=4-4m
∴S=$\frac{1}{2}×（4-4m）×3m$，
当m=$\frac{1}{2}$时，S最大=$\frac{3}{2}$；

（3）$\frac{AF}{FM}=\frac{{{S_{△AEF}}}}{{{S_{△EFM}}}}=\frac{{{S_{△ABF}}}}{{{S_{△BMF}}}}=k$$\frac{{{S_{△ABE}}}}{{{S_{△BME}}}}=\frac{{{S_{△ABF}}-{S_{△AEF}}}}{{{S_{△BFM}}-{S_{△EFM}}}}=k$$\frac{{{S_{△ABE}}}}{{{S_{△BME}}}}=\frac{AE×BD}{EM×ED}=\frac{AE×CD}{EM×ED}=\frac{AD×EM}{EM×ED}=\frac{AD}{ED}=\frac{1}{m}$，
即k=$\frac{1}{m}$．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定与性质以及二次函数的最值的知识，解答本题的关键是证明△AEM∽△ADC，解答此题还要掌握三角形面积的计算，此题难度一般．